[精品]有关正交矩阵性质的探讨.doc

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1、在探讨性质Z前，先得了解正交矩阵的出处，正交矩阵来B于正交变换的定义:设勿是欧几里得空间的线性变换，如果勿保持内积，也就是说，对任意的，有AA=。正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，贝U变换前后的图形全等。•定义一：正交变换关于规范正交基的矩阵称为正交矩阵。根据规范正交基的性质，我们可证得：矩阵是正交变换A关于规范正交基得矩阵得充分必要条件是。由此可得：•定义二：满足的方阵为正交矩阵。现在探讨正交矩阵的性质：一、正交矩阵与矩阵运算的关系：设,即有。1)正交矩阵的和：令则，不是正交矩阵。2)正交矩阵的积：

2、・•・为正交矩阵。3)正交矩阵的逆和转置：由，故均为正交矩阵。4)正交矩阵的伴随：为正交矩阵。二、正交矩阵的特征：行列式：由。其屮行列式等于的称为第一类正交变换，行列式等于的称为第二类正交变换。正交变换的特征值：欧几里得空间里正交变换的特征值为，证明如下：设伺尸，贝9也0虫0)口奇数维欧儿里得空间的第一类正交变换，必以为特征值，偶数维欧儿里得空间的第二类正交变换，必以为特征值。正交矩阵显然是可逆的。三、正交矩阵与特殊矩阵的关系:特征值全是实数的的正交矩阵必是对称矩阵。证明如下：设是阶正交矩阵，且其特征值都

3、是实数。那么就可以看作是某个欧儿里得空间上的正交变换貝关于某个规范正交基的矩阵。设是的任一特征值，是相应的特征向量。令。则是兔的不变了空间：任取，贝I」。所以^=(^=(^A)=()=0o因勿是正交变换，所以特征值是非零实数，从而貝=0,即是必不变的。A仍是正交变换，且的特征值就是虫的特征值，因此其特征值也都是实数。对兔重复上述步骤的话，就能得到＞1的个实特征值以及相对应的个两两正交的特征向量。将单位化即得得一个新的规范正交基。而必在这一基下的矩阵实对角阵。设是从『I的规范正交基到新的规范正交基的过渡矩阵

4、，则。由于也是正交矩阵，所以是对称矩阵。任意阶实可逆方阵均可分解为，其屮是正交矩阵，是下三角矩阵。只要利用规范正交化的方法就能证得。事实上，规范正交化得到的基札I对原来的基的基变换矩阵即为三角矩阵。对任意实对称矩阵，一定存在正交矩阵，使得是一个对角矩阵。这是书上的定理4.5。由此还有：若为阶实可逆方阵，也存在正交矩阵，使，且。