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1、习题四答案1.(1)设abab++3,3∈K，且ab,不全为零，则1122122ab1+−−133=+aabbabab121221123不一定属于K，因为aa12−3bb12，abab21−12不一定222212222ab+3abab−−33ab−3ab−32222222121为整数，所以K不是数域.12.(2)设ab++iabiF,∈，则abiab++,i的和、差、积仍为F中的数，当ab,不全为零112221122222ab++−iaabbabab1112122112时，=+i，由于aab,,和b皆为有理数，且ab,不全为零，则2222121222ab+++iabab222222aa+
2、bbabab−abi+1212211211，也为有理数，故也属于F，22222ab+ab+abi+222222即F是数域.2⎛⎞⎛⎞x10⎛⎞⎛⎞⎛⎞x110x⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟3.(3)当x≠0时，按数乘定义，10x=≠x，所以不构成线性空间.⎜⎟⎜⎟2⎜⎟⎜⎟⎜⎟22⎜⎟⎜⎟x0⎜⎟⎜⎟⎜⎟x0x⎝⎠⎝⎠3⎝⎠⎝⎠⎝⎠334.(1)x=∈()xxxW,,，yyyyW=∈(),,，有x+kyW∈，所以W是子空间；1231123111(2)x=∈()1,1,1W，而−x∉W，所以W不是子空间；222(3)x=∈()1,1,1W，而−x∉W，所以W不是子空间；333(4)x=∈()xxx
3、W,,，yyyyW=∈(),,，有x+kyW∈，所以W是子空间；1234123444(5)x=∈()1,0,1W，而−x∉W，所以W不是子空间；555(6)x=∈()1,1,1W，而−x∉W，所以W不是子空间.6665.(1)fx()≥0，而−≤fx()0，所以U不是子空间；1(2)设f∈U，gU∈，则ff()12−=()0，gg(120)−()=，22()fk+−g(12)()fk+=−+−g()f(1)f(2)kg⎡⎤⎣⎦(1)g(2)=0，所以f+∈kgU，即U是子空间；22(3)设f∈U，gU∈，则ff()()01=0，gg(01)()=0，33而()fg++(010)()fg(
4、)=⎡⎣f()+g(0)⎤⎡⎦⎣f(1)+g(1)⎤⎦1习题四答案=+++=+f()()01010101fggfggffggf()()()()()()(0101)()()()，不一定为零，所以U3不是子空间；222(4)ff()11−=()0，而−−fff()111⎡⎤⎣⎦−=()−−()f()1，不一定为零，所以U不是子空间；4(5)设f∈U，gU∈，则f()−=xfx()，gxgx(−=)()，55()f+−=−+−=+=+kg(x)()fxkg(x)fx()kgx()(fkg)()x，所以f+∈kgU，即U是子空间；5522(6)设f∈U，gU∈，则fxfx()−=()0，gxgx
5、()−()=0，66222()f+−kg(x)()f+=+−+kg(x)fx()kgx()⎡fx()()kgx⎤⎣⎦22=−+fxfxkgxgx()()⎡⎤()−=()0⎣⎦所以f+∈kgU，即U是子空间.66⎛⎞100⎛⎞010⎛⎞001⎛⎞000⎛⎞000⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟6.(1)设ε=000，ε=000，ε=000，ε=010，ε=001，11⎜⎟12⎜⎟13⎜⎟22⎜⎟23⎜⎟⎜⎟⎝⎠000⎜⎟⎝⎠000⎜⎟⎝⎠000⎜⎟⎝⎠000⎜⎟⎝⎠000⎛⎞000⎜⎟ε=000，则若有kkkkkkε+εεεεε++++=0，必有33⎜⎟111212313422523633⎜⎟001⎝
6、⎠kkkkkk======0，即ε,,,,,εεεεε线性无关，又任一123456111213222333⎛⎞abc⎜⎟33×η=∈deM，可表示为η=+++++abcdefεεεεεε，因此，该子空间维⎜⎟111213222333⎜⎟f⎝⎠数为6，且ε,,,,,εεεεε为一组基.111213222333⎛⎞100⎛⎞010⎛⎞001⎛⎞000⎛⎞000⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟(2)设ε=000，ε=100，ε=000，ε=010，ε=001，11⎜⎟12⎜⎟13⎜⎟22⎜⎟23⎜⎟⎜⎟⎝⎠000⎜⎟⎝⎠000⎜⎟⎝⎠100⎜⎟⎝⎠000⎜⎟⎝⎠010⎛⎞000⎜⎟ε=000，则若有kkk
7、kkkε+++++=εεεεε0，必有33⎜⎟111212313422523633⎜⎟001⎝⎠2习题四答案kkkkkk======0，123456⎛⎞abc⎜⎟33×即ε,,,,,εεεεε线性无关，又任一η=∈bdeM，可表示为111213222333⎜⎟⎜⎟cef⎝⎠η=+++++abcdefεεεεεε，111213222333因此，该子空间维数为6，且ε,,,,,εεεεε为一组基.111213222333⎛⎞010⎛⎞0
