线性代数习题答案(6).pdf

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1、习题六1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k·；(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法.【解】（1）是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的18条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为

2、任一实数，则(A+B)′=A′+B′=AB=(A+B),(kA)′=kA′=k(A)=(kA),所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.（2）否.因为(k+l)·,而kl2,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.（3）否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）.（4）否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合.2.设U是线性

3、空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U＝Ｖ.【证明】设U的维数为m，且,,,是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，12m自然,,,也是V的一个基，故U=V.12m3.设12,,,r是n维线性空间Vn的线性无关向量组，证明Vn中存在向量rn1,,使12,,,,rr1,,n成为Vn的一个基(对nr用数学归纳法).【证明】对差nr作数学归纳法.当nr=0时，结论显然成立.假定对nr=k时，结论成立，现在考虑nr=k+1的情形.因为向量组,,,还不

4、是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在12r一个向量不能由,,,线性表出，把添加进去所得向量组r112rr1,,,,12rr1必定还是线性无关的，此时n(r+1)=(nr)1=(k+1)1=k.由归纳法假设,,,,,可以扩充为整个空间的一个基.12rr1根据归纳法原理，结论普遍成立.1４4.在R中求向量＝(0,0,0,1)在基＝(1,1,0,1),＝(2,1,3,1),＝(1,1,0,0),＝(0,1,－1,1234－1)下的坐标.【解】设向量在基,

5、,,下的坐标为(x,,,xxx),则12341234xxxx11223344即为1210x101111x020301x031101x41解之得(x,,,xxx)=(1,0,1,0).1234３5.在R中，取两个基＝(1，2，1)，＝(2，3，3)，＝(3，7，1)；123＝(3，1，4)，＝(5，2，1)，＝(1，1，－6)，123试求,,到,,的过渡矩阵与坐标变换公式.123123３【解】取R

6、中一个基（通常称之为标准基）=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1).123于是有123(,,)(,,)237,123123131351(,,)(,,)121,1231234161123351(,,)(,,)237121,123123131416所以由基,,到基,,的过渡矩阵为1231231123351277141A2371219

7、209.1314164128坐标变换公式为2x277141x11x9209x,22x4128x33其中(x,,xx)与（x,,xx）为同一向量分别在基,,与,,下的坐标.12312312312346.在R中取两个基(1,0,0,0),(2,1,1,1),11(0,1,0,0),(0,3,1,0),22(0,0,1,0),(5,3,2,1),33

8、44(0,0,0,1).(6,6,1,3).(1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；(2)求向量(x,,,xxx)在后一个基下的坐标；1234(3)求在两个基下有相同坐标的向量.20561336【解】(1)(,,,)(,,,),AA123412341121101