首届全国大学生数学竞赛赛区赛试题与解答(非数学类).pdf

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1、首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（非数学类，2009）一、填空题（每小题5分，共20分）y(xy)ln(1)x1．计算dxdy____________，其中区域D由直线xy1与两D1xy坐标轴所围成三角形区域.222．设f(x)是连续函数，且满足f(x)3xf(xd)x2,则f(x)____________.02x23．曲面zy2平行平面2x2yz0的切平面方程是__________.2f(y)y4．设函数yy(x)由方程xeeln29确定，其中f具有二阶导数，且f1，2dy则________

2、________.2dxx2xnxeeee二、（5分）求极限lim()x，其中n是给定的正整数.x0n1f(x)三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)f(xtd)t，且limA，A为常数，求0x0xg(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.四、（15分）已知平面区域D{(x,y0

3、)x0,y}，L为D的正向边界，试证：sinysinxsinysinx（1）xedyyedxxedyyedx；LLsinysiny52（2）xedyyedx.2Lx2xxxx2xx五、（10分）已知

4、yxee，yxee，yxeee是某二阶常123系数线性非次齐微分方程的三个解，试求此微分方程.2六、（10分）设抛物线yaxbx2lnc过原点.当0x1时,y0,又已知该抛1物线与x轴及直线x1所围图形的面积为.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成3的旋转体的体积最小.n1xe七、（15分）已知u(x)满足u(x)u(x)xe(n,2,1),且u)1(,求函nnnnn数项级数un(x)之和.n12n八、（10分）求x1时,与x等价的无穷大量.n0首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷

5、（非数学类，2009）一、填空题（每小题5分，共20分）y(xy)ln(1)x1．计算dxdy____________，其中区域D由直线xy1与两D1xy坐标轴所围成三角形区域.01解令xyu,xv，则xv,yuv，dxdydetdudvdudv，11y(xy)ln(1)xulnuulnvdxdydudvD1xyD1u1ulnuuuu(dvlnvdvd)u001u01u21ulnuu(ulnuu)du01u1u21udu（*）01u222

6、42令t1u，则u1t，du2tdt，u12tt，u1(u)t1(t)(1t)，024(*)21(2ttd)t11124231516201(2ttd)t2ttt35015222．设f(x)是连续函数，且满足f(x)3xf(xd)x2,则f(x)____________.022解令Af(xd)x，则f(x)3xA2，022A3(xAd)2x8(2A)242A,04210解得A。因此f(x)3x332x23．曲面zy2平行平面2x2

7、yz0的切平面方程是__________.22x2解因平面2x2yz0的法向量为,2,2()1，而曲面zy2在2(x,y)处的法向量为(z(x,y),z(x,y),)1，故(z(x,y),z(x,y),)1与00x00y00x00y00,2,2()1平行，因此，由zx，z2y知2z(x,y)x2,z(x,y)2y，xyx000y000即x,2y1，又z(x,y)z)1,2(1，于是曲面2x2yz0在(x,y,z(x,y))000000002x2处的切平面方程是(2x)2(2y)1(z

8、)10，即曲面zy2平行平面22x2yz0的切平面方程是2x2yz50。f(y)y4．设函数yy(x)由方程xeeln29确定，其中f具有二阶导数，且f1，2dy则________________.2dxf(y)y解法1方程xeeln29的两边对x求导，得f(y)f(y)yefx(y)yeeyln29即1f(y)y[f(y)y]xeyeln29xyf(y)11因eln29xe0，故f(y)yy，即y，因此xx1(f(y))2dy1f(y)yy222d

9、xx1(f(y))x1[f(y)]2f(y)1f(y)1[f(y)]23223x1[f(y)]x1(f(y))x1[f(y)