复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案.pdf

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1、习题一⎛−+1i3⎞⎛−+1i3⎞∴Re⎜⎟=1,Im⎜⎟=0．⎜2⎟⎜2⎟⎝⎠⎝⎠1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数④解：∵e−iπ/4;35+i;(2+i)(43);+i1+3.3(−1)3−⋅−⋅−3(1)(3)2+⎡3⋅−(1)2⋅3−(3)3⎤i7i+1i1+i⎛−+1i3⎞⎢⎣⎥⎦⎜⎟=⎜⎝2⎟⎠8π①解−4i⎛π⎞⎛π⎞2⎛2⎞221e=cos⎜−4⎟+isin⎜−4⎟=2+−⎜⎜2i⎟⎟=2−2i=(80i+)=1⎝⎠⎝⎠⎝⎠835i+(35i17i+)(−)1613②解：==−+i⎛−+1i3⎞⎛−+1i3⎞7i

2、1+(1+7i17i)(−)2525∴Re⎜⎟=1,Im⎜⎟=0．⎜2⎟⎜2⎟⎝⎠⎝⎠③解：(2i43i+)(+)=−+834i6i+=+510ikn⎧⎪(−1,)n=2k1331i(−)35⑤解：∵i=⎨k∈ℤ．−1k⋅i,n=2k+1④解：+=i−+=−i⎪⎩()i1i+222∴当n=2k时，(n)()k，(n)；Rei=−1Imi=02.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)33nza−3⎛−+1i3⎞⎛−−1i3⎞n当n=2k+1时，Rei()=0，(a∈R);z;⎜⎟⎜;⎟;.iza+⎝2⎠⎝2⎠nkImi()=−(1)．1

3、：∵设z=x+iy则3.求下列复数的模和共轭复数1+iz−a(x+iy)−a(x−a)+iy⎡⎣(x−a)+iy⎤⎡⎦⎣(x+a)−iy⎤⎦−+2i;−3;(2+i)(32);+i.===222z+a(x+iy)+a(x+a)+iy(x+a)+y①解：−+=2i41+=5．222⎛z−a⎞x−a−y∴Re⎜⎟=,⎝z+a⎠x+a2+y2−+=−−2i2i()②解：−=33−=−33⎛z−a⎞2xyIm⎜⎟=．22⎝z+a⎠(x+a)+y③解：(2+i3)(+2i)=2+i3+2i=5⋅13=65．②解：设z=x+iy(2+i3)(+2i

4、)=(2+i)⋅(3+2i)=(2−i)⋅(32i−)=4−7i∵1i+1i+2z3=(x+iy)3=(x+iy)2(x+iy)=(x2−y2+2ixy)(x+iy)④解：==222=2−2−2+⎡2−2+2⎤xx(y)2xy⎣yx(y)2xy⎦i3223⎛1+i⎞(1i+)1i−=x−3xy+(3xy−y)i⎜⎟==⎝2⎠22332∴Re(z)=x−3xy,4、证明：当且仅当z=z时，z才是实数．323Im(z)=3xy−y．证明：若z=z，设z=x+iy，③解：∵33⎛−+1i3⎞(−+1i3)1⎡2⎤⎡23⎤则有x+iy=x−iy

5、，从而有(2y)i=0，即y=0⎜⎜2⎟⎟=8=8{⎢⎣−−⋅−13(1)⋅(3)⎥⎦+⎢⎣3⋅−(1)⋅3−(3)⎥⎦}⎝⎠1∴z=x为实数．=(80i+)=18若z=x，x∈ℝ，则z=x=x．1/323816i−198i−17i⋅θ8∴z=z．===⋅e其中θ=π−arctan．5025519命题成立．i⋅θπ②解：i=e其中θ=．25、设z,w∈ℂ，证明：z+w≤z+wπii=e22证明∵z+w=(z+w)⋅(z+w)=(z+wz)(+w)iππi③解：−=1e=e2=⋅+⋅zzzwwz+⋅+ww⋅④解：−8π(1+3i)=16π

6、θ=−π.322=z+zw+(zw⋅)+w−2πi∴−8π(1+3i)=16π⋅e322=z+w+2Re(zw⋅)322⎛2π2π⎞≤z+w+2z⋅w⑤解：⎜cos+isin⎟⎝99⎠22=z+w+2z⋅w3=z+w2⎛2π2π⎞()解：∵⎜cos+isin⎟=1．⎝99⎠∴z+w≤z+w．322π⎛2π2π⎞i⋅π.3i∴⎜cos+isin⎟=⋅1e9=e36、设z,w∈ℂ，证明下列不等式．⎝99⎠222z+w=z+2Re(zw⋅)+w8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)3+3i222z−w=z−2Re(zw⋅)+w

7、的平方根.2222⑴i的三次根．z+w+z−w=2(z+w)解：并给出最后一个等式的几何解释．ππ12kπ+2kπ+3⎛ππ⎞322证明：z+w2=z2+2Re(zw⋅)+w2在上面第五题i=⎜cos+isin⎟=cos+isin(k=0,1,2)⎝22⎠33的证明已经证明了．ππ31∴z=cos+isin=+i．12226622下面证z−w=z−2Re(zw⋅)+w．5531z=cosπ+isinπ=−+i2∵z−w2=(z−w)⋅(z−w)=(z−wz)(−w)6622993122z=cosπ+isinπ=−−i=z−⋅zwwz−⋅

8、+w3662222⑵-1的三次根=z−2Re(zw⋅)+w．从而得证．解：222212kπ+π2kπ+π3∴z+w+z−w=2(z+w)−=1(cosπ+isinπ)3=cos+isin(k=0,1,2)3