资源描述：
《复变函数—课后答案习题五解答.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题五解答1、下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。1sinz1（1）；（2）；（3）；2332zz()2+1zz−z−z+11ln()z+1z1−z（4）；（5）；（6）e；z()11++ze2(πz)12n1z（7）；（8）；（9）.2z1+zn2ze(1−)sinz122解（1）fz()=是有理函数，故奇点只是极点，满足zz(+1)=0，故z=0，与z=±i为22zz()+1其奇点，z=0为一级极点，而z=±i为其二级极点。sinz（2）因lim=∞则z=0为其极点。再确定极点的级，有两种方法
2、：3z→0z3sinza.z=0为sinz为的一级零点；而z=0为z的三级零点。故z=0为的二级极点。3z2sinzzsinb.limz=lim=1≠0，故z=0为其二级极点，3zz→→00zz11（3）原式==，故z=1为其二级极点，而z=−1为一级极点。22(z−1)(z−1)()z−1(z+1)∞n+1()∞nnzln1+znz（4）a．ln()1+z=∑(−1)，0<
3、z
4、<1，=∑()−1无负幂项，故z=0为其可去奇点。n=0n+1zn=0n+1ln()1+z1b．lim=lim=1，故z=0为可
5、去奇点。z→0zz→0()1+z21+z2)πz1+ez（5）由1+z=0得z=±i为(的一级零点，由10+e=得zk=(21+)i()k=0,±1,±2,?为()k的零点，又()1+′eeπz=ππzk=−π≠0，所以z为(1+ez)的一级零点，因此，z=±i为二级极点；kzkz=()2k+1i，(k=±1,2,?)为一级极点。k1∞n(1−)（6）由e1−z=∑，知z=1为本性奇点。nn=0nz!(−1)∞n2zzzz2z1（7）因ez−=1∑=z(1+++?)，故z=0为ze(−1)的三级零点，因而是
6、2zn=0(1n+)!23!ze(1−)的三级极点，而zk==2iπ,(k±1,±2,?)均为一级极点。(2k+1)πi（8）由zn+1=0，zn=−1，得z=en(k=0,1,?n−1)为原式一级极点。k2（9）sinzz=0⇒=±kπ,z=±ikπ，k=0,1,2,?由-1-22⎧00k=21()sinzz′=
7、222cosz
8、=⎨，(sinz)''=2，知z=0是的二级极点，zk==ππzk⎩≠≠00kz=0sinz21z=±kπ，z=±ikπ（k=1,2,3,?）均为一级极点。2sinz2．求证：如
9、果z是f(z)是m（m>1）级零点，那么z是f'(z)的m−1级零点。00m证由题知：f()z=(z−z)ϕ(z)，ϕ()z≠0，则有00()()m−1()()m()m−1f'z=mz−zϕz+z−zϕ'z=(z−z)[mϕ(z)+(z−z)(ϕ'z)]0000故z是f'(z)的m-1级零点。0πi3．验证：z=是chz的一级零点。2πiππiππi解由ch==cos0，(chz)'=sh==isini，知z=是chz的一级零点。z=πi222222−24．z=0是函数(sinz+−shz2z)的几级极点？
10、解(sinzz+−sh2z)=0,(sinz+shz−2z)'=(cosz+chz−2)=0，zz==00z=0(sinzz+−sh2z)''=(−sinz+shz)=0,(sinz+−shz2z)'''=(−cosz+chz)=0，zz==00z=0z=0(4)(5)(sinzz+−sh2z)=(sinz+shz)=0,(sinz+shz−2z)=(cosz+chz)=2，zz==00zz==00−2故z=0是函数sinzz+sh−2z的五级零点，也即为(sinz+−shz2z)的十级极点。5．如果f(z
11、)和gz()是以z为零点的两个不恒等于零的解析函数，那么0fz()f'(z)lim=lim(或两端均为∞)。zz→→00gz()zzg'(z)证因f(z)和gz()是以z为零点的两个不恒等于零的解析函数，可设f()zz=−(zz)ϕ()，00gz()=−(zz)ψ(z)，ϕ()z,ψ(z)为解析函数，则0f()zz()zz−ϕ(z)ϕ()fz'()ϕ()zz+(−z)ϕ'(z)00==，=，gz()(z−z)ψψ()z()zgz'()ψψ(z)+−(zz)'(z)00f()zzϕ()f'(zz)ϕϕ()zz
12、+(−z)'(z)ϕ()0故lim=lim，lim=lim=lim，即zz→→00gz()zzψ()zzz→→00gz'()zzψψ(z)+−(zz)'()zzz→0ψ()z0fz()f'(z)lim=lim(或两端均为∞)zz→→00gz()zzg'(z)6．若ϕ(z)与ψ(z)分别以z=a为m级与n级极点（或零点），那么下列三个函数在z=a处各有什么性质？（1）ϕψ()z(z)；（2）ϕψ()z/(z)；（3
