资源描述：
《微分方程第4章习题解.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章高阶微分方程4-1证明线性非齐次方程的叠加原理：设x(t),x(t)分别是线性非齐次方程12nn−1dxdxdx+a(t)+⋯+a(t)+a(t)x=f(t)n1n−1n−1n1dtdtdtnn−1dxdxdx+a(t)+⋯+a(t)+a(t)x=f(t)n1n−1n−1n2dtdtdt的解，则x(t)+x(t)是方程12nn−1dxdxdx+a(t)+⋯+a(t)+a(t)x=f(t)+f(t)（1）n1n−1n−1n12dtdtdt的解。证由题意，有nn−1dxdxdxiii+a(t)+⋯+a(t)
2、+a(t)x=f(t)(i=1,2)，n1n−1n−1niidtdtdt把x(t)+x(t)代入方程（1）的左端得12nn−1d(x+x)d(x+x)d(x+x)121212左端=+a(t)+⋯+a(t)+a(t)(x+x)n1n−1n−1n12dtdtdtnn−1dxdxdx111=[+a(t)+⋯+a(t)+a(t)x]+n1n−1n−1n1dtdtdtnn−1dxdxdx222[+a(t)+⋯+a(t)+a(t)x]n1n−1n−1n2dtdtdt=f(t)+f(t)=右端。12评注：线性非齐次方程的叠
3、加原理用于求线性非齐次方程的特解，特别对于右端函数可以分解为几个简单函数之和时更加有用。2dxtdx1t4-2试验证方程+−x=0有基本解组t,e，并求方程2dt1−tdt1−t2dxtdx1+−x=t−12dt1−tdt1−t的通解。�t证1将t,e分别代入方程得tt0+−≡0；1−t1−tttt1te+e−e≡0。1−t1−ttet又≠常数，因此t,e是方程的基本解组。t�2用常数变易法，令方程的特解具有以下形式tx(t)=C(t)t+C(t)e，12则t⎧⎪tC1′(t)+eC2′(t)=0⎨，t⎪⎩C
4、′(t)+eC′(t)=t−112由此得⎧C1′(t)=−1⎪⎨t，C′(t)=⎪2t⎩e所以−tC(t)=−t+c,C(t)=−e(t+1)+c，1122因而方程的通解为t2x(t)=Ct+Ce−(t+1)。12评注：常数变易法是线性非齐次方程求特解的最基本的方法。但有时可根据方程的具体2dxdx2形式采用灵活的方法。将本例方程变形为(1−t)+t−x=−(t−1)，容易发现它可2dtdt~2能具有形如二次多项式的特解，因此可设其有特解形如x(t)=At+Bt+C，代入方程，~2比较系数得A=C=−1，B可
5、任意取值，所以易求得一个特解为x(t)=−(t+1)。2dxt−t4-2已知方程−x=0有基本解组e,e，试求此方程适合初始条件2dtx(0)=1,x′(0)=0及x(0)=0,x′(0)=1的基本解组（称为标准基本解组，即有W(0)=1），并由此求出方程的适合初始条件x(0)=x,x′(0)=x′的解。00t−t解由于原方程有基本解组：e,e，所以通解为t−tt−tx(t)=Ce+Ce，且x′(t)=Ce−Ce，12121将x(0)=1,x′(0)=0代入上式，求得C=C=，由此得特解1221t1−tx=e
6、+e=cht；12211将x(0)=0,x′(0)=1代入上式，求得C=,C=−，由此得特解12221t1−tx=e−e=sht。222又chtsht22W(t)==cht−sht=1≠0，shtcht所以cht和sht线性无关，因而cht，sht是标准基本解组，并由此得出方程的通解为x=Ccht+Csht。12且x′=Csht+Ccht，将初始条件x(0)=x,x′(0)=x′代入得C=x,C=x′，因12001020而满足这个初始条件的解为：x(t)=xcht+x′sht。00评注：标准基本解组是满足初始
7、条件x(0)=1,x′(0)=0，及x(0)=0,x′(0)=1的基本解组。4-3设x(t)(i=1,2,⋯,n)是线性齐次方程inn−1dxdxdx+a(t)+⋯+a(t)+a(t)x=0n1n−1n−1ndtdtdt的任意n个解，它们所构成的朗斯基行列式记为W(t)。试证明W(t)满足一阶线性方程W′(t)+a(t)W(t)=0（1）1t−∫t0a1(s)ds因而有W(t)=W(t)e,t,t∈(a,b)。00证将行列式的微分法则应用于W(t)，则所得的前n−1项的行列式都有两行相等，即都等于零，于是有x
8、x⋯⋯x12nx′x′⋯⋯x′12nW′(t)=⋯⋯⋯⋯⋯，(n−2)(n−2)(n−2)xx⋯⋯x12n(n)(n)(n)xx⋯⋯x12n所以W′(t)+a(t)W(t)1xx⋯⋯xxx⋯⋯x12n12nx′x′⋯⋯x′x′x′⋯⋯x′12n12n=⋯⋯⋯⋯⋯+a(t)⋯⋯⋯⋯⋯1(n−2)(n−2)(n−2)(n−2)(n−2)(n−2)xx⋯⋯xxx⋯⋯x12n12n(n)(n)(n)(n−1
