微积分习题精解(5).pdf

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1、27习题5.1解答1.求由曲线ylnx,x2及x轴所围成的平面图形的面积。解所围平面图形如图5.1.1所示,于是22Alnxdxxlnxx12ln21.1或ln2ln2yyA(2e)dy2ye2ln21.00yyx4y4ylnxln2o48xo12x22y2x图5.1.1图5.1.222.求由曲线y2x,yx4所围成的平面图形的面积。解所围平面图形如图5.1.2所示,于是42234yyyA2(y42)dx24y618.2x3.设曲线方程为ye(x0),试在此曲线上找一点,使过该点的切线、曲线与

2、两个坐标轴所夹平面图形的面积最小,并求出该面积。解如图5.1.3所示,所夹平面图形的面积最小,等价于求过图中曲线上a任意一点(a,e)的切线PQ与两坐标轴所夹三角形oPQ的面积最大,于是切aa线的方程为yee(xa),P的坐标为(a,1a),Q点的坐标为a(a,(1a)e),因此三角形oPQ的面积为1a12aA(1a)e(1a)(1a)e.221可求得当a1,三角形oPQ的面积最大,最大面积为2e.于是所求切点为1(1,e),最小面积为x11edx2e12e.028yy2yxAQa2(a,e)xyeA1aPoxot1x图5.

3、1.4图5.1.312124.已知曲线yxa及yx1,试确定a,使两曲线所围成的2232平面图形的面积为.311解两曲线的交点为(1a,(1a))及(1a,(a1)),因此两曲线22所围成的平面图形的面积为321ax2x21a2(1a)dx(1ax)dx31a221a1a33x42axx(1a)331a解得a3.25.考虑函数yx,0x1,试求:(1)当t取何值时,图5.1.4中阴影部分的面积A与A之和12AAA最小;12(2)当A最小时,阴影部分绕y轴旋转而成的旋转体的体积。解(1)由于t12222

4、AAA(tx)dx(xt)dx120tt13332xx24t12txtxt303t332111令A(t)4t2t0,得t或t0,又A()20,所以当t时,222面积A最小。(2)当A最小时,阴影部分绕y轴旋转而成的旋转体的体积为11114224Vxdy(1x)dyydy(1y)dy01014429112425y(yy).2021164z2y22xz6.求椭球体1的体积。a2b2c2c解(1)如图5.1.5所示,过点作垂直于轴的平面,截椭球的截面为oy2z2x2bx

5、ax1222bca即yy22z1,xa22图5.1.5x2x2b1c1a2a2因此椭圆截面的面积为x2x2x2A(x)b1c1bc1a2a2a2于是所求椭球体的体积为aax24VA(x)dxbc1dxabc.aaa237.已知抛物线ya(x1)(x3),试计算两坐标轴与该抛物线所围图形及x轴与该抛物线所围图形绕x轴旋转所产生的两个旋转体体积之比。解如图5.1.5所示,两坐标轴与该抛y物线所围图形绕x轴旋转所产生的旋转体ya(x1)(x3)体积为

6、122Va[(x1)(x3)]dx10382a.15o13xx轴与抛物线所围图形绕x轴旋转所产生的旋转体体积为图5.1.6322Va[(x1)(x3)]dx21162a.15所以两体积比为V:V19:8.1230习题5.2解答Cx()1001.已知生产x个单位的某种产品,边际单位成本,产2xx量为1个单位时,成本为102,又知边际收入为Rx()1201.x,求(1)利润函数;(2)利润最大时的产量;(3)利润最大时的平均价格。解(1)依题C(x)xC(t)x100100C(1)dt102dt2x1t1t

7、2x所以C(x)2x100.又xx2R(x)R(0)R(t)dt(120.1t)dt12x0.05x.002因此L(x)R(x)C(x)0.05x10x100(2)令L(x)0.1x100,得x100,且L(100)0.10,所以利润最大时的产量为x100.(3)利润最大时的平均价格Rx2()121000.051007.x100x1002.

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