2009卓越自主招生数学试题.pdf

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1、华南理工大学2009年保送生、自主招生选拔试题《理科数学》试题A一．选择题21）已知复数z00xi，且xi0的幅角主值是，则满足zz220的z的幅角主值2的取值范围是（）53759A、,B、,C、,D、,1212631212121222）b0是函数fxxbxc在[0,)单调的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件223）已知ab,R，ab26，则ab的最小值为（）537A、22B、C、3D、322n2n1nnn4）

2、在1xx1xx1x的展开式中，x的系数为（）2n1!2n+1!2n+2!2n2!A、B、C、D、nn!1!n!n!nn!!nn!1!2225）已知圆Ox:yr，点Pab,,ab0是圆O内一点。过点P的圆O的最短的弦在2直线l上，直线l的方程为bxayr，那么（）12A、ll//，且l与圆O相交B、ll，且l与圆O相切122122C、ll//，且l与圆O相离D、ll，且l与圆O相离12212226）已知0x，函数fx25sincosxxcosx1的值域为（）2A、3,1B、3

3、,2C、1,3D、2,37）在三角形ABC中，向量aABAC,b3AB8ACBC,c4CBBA，则下列结论一定成立的是（）A、向量ac一定与向量b平行B、向量bc一定与向量a平行C、向量ab一定与向量c平行D、向量ab一定与向量c平行22xy2bc8）已知c是椭圆10ab的半焦距，则的取值范围是（）22ab2a11115A、,B、(,1]C、(,2]D、(,]22222二.填空题9）已知ABC,,,D是某球面上不共面的四点，且ABBCAD2，BDAC2，BCAD，则此球的表面积等于。22xy10

4、）已知双曲线1a0,b0右焦点为F，右准线l与两条渐近线分别交于22abP,Q两点。若PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e。11）已知函数fx是定义在0,上的增函数，且满足f31，fxyfxfy,x0,y0，则不等式fxfx33的解集为。x112）已知xy0，则xy2的最大值为。22xy2x6y6013）甲、乙两人下围棋，下三盘棋，甲平均能赢二盘，某日，甲、乙进行五打三胜制比赛，那么甲胜出的概率为。三．设三角形ABC三个顶点的坐标分别为AB2,1,1,2，C3,1

5、DE,分别BEADDM为ABBC,上的点，M是DE上一点，且BCABDE1）求点M的横坐标的取值范围；2）求点M的轨迹方程。四．已知函数fx是定义在[4,)的单调增函数，要使得对于一切22的实数x不等式fcosxbfsinxb3恒成立，求实数b的取值范围。五．如图，在正三棱锥PABC中，侧棱长为3，底面边长为2，E为BC的中点，EFPA于F。P1）求证：EF为异面直线PA与BC的公垂线；F2）求异面直线PA与BC的距离；C3）求点B到面APC的距离。AEB22六．已知aa10,bb10,ab，设a1,ab，12aa

6、a02n，baaan11nnnn1n1）证明数列b是等比数列；n2）求数列a的通项；nnn13）设cc1，ccc，证明：当n3时有1cacbb。12n21nnnn2答案1.A2.A3.C4.A5.D6.无答案7.C8.D9.6π10.11.(3，]12.7+213.14.（1）x∈[,3](2)=60x+80y-100,x∈[,3]