高等数学课后习题答案3_上海交大版.pdf

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1、第三章导数与微分t1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t]内转过角度是θ，从而转角θ是t的函数：θ=θ()t。θ如果旋转是匀速的，那么称w=为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀速的，应怎样确t定该物体在时刻t的角速度？0dθ解答：tt=0dt所属章节：第三章第一节难度：一级2．一个圆锥体因受热而膨胀，在膨胀过程中，其高与地面的直径相等，问：（1）体积关于半径的变化率如何？（2）半径为5cm时，体积关于半径的变化率是多少？1223dV2dV解答：（1）V=πr⋅2r=πr，=2πr；（2）=50πrs=33drdr所属章节：第三章第

2、一节难度：一级3．设N=Nx()表示x个劳动力所生产的某产品的数量，若每个劳动力生产的产品数量相同，N则是常数，称为劳动生产率。实际上，产品的产量N并不是随劳动力x的增加而均匀增长x的。试求劳动力数量为x时的劳动生产率（边际劳动生产率）。0解答：Nx′()0所属章节：第三章第一节难度：一级4．假定fx()可导，观察下列极限，指出A表示什么？xx−0（1）lim=A；x→x0fx()−fx()0fx(−∆2x)−fx()00（2）lim=A；∆→x0∆xf(3)−f(3−h)（3）lim=A；h→0hfx()（4）lim=A，且f(0

3、)=0.x→0xxx−110解答：（1）A=lim==；x→x0fx()−fx()0fx()−fx()0fx'()0limx→x0xx−0fx(−∆2x)−fx()00（2）(x−∆2x)−x=−∆2x，A=lim=−2()fx′；000∆→x0∆xf(3)−f(3−h)（3）3(3−−h)=h，A=lim=f′(3)；h→0hfx()fx()−f(0)（4）f(0)=0，A=lim=lim=f'(0)x→0xx→0x所属章节：第三章第一节难度：一级5．指出下列极限是什么函数在哪一点的导数？xma−1(1+x)−1（1）lim；（2

4、）lim；x→0xx→0xπarctanx−arctan（3）lim4.ππx→4x−4x解答：（1）a在x=0处的导数；m（2）(1+x)在x=0处的导数；π（3）arctanx在x=处的导数4所属章节：第三章第一节难度：一级6．按定义证明：(cos)x′=−sinx。2x+∆x∆x−2sinsincos(x+∆x)cos−x22解答：因为lim=lim=−sinx，∆→x0∆x∆→x0∆x所以由导数定义，(cos)x′=−sinx。所属章节：第三章第一节难度：一级7．按定义求下列函数的导数：2ax（1）y=x+3x−1；（2）y

5、=e；（3）y=cos(axb+)；（4）y=xsinx.22fx(+∆x)−fx()[(x+∆x)+3(x+∆x)1](−−x+3x−1)解答：（1）由于lim=lim∆→x0∆x∆→x0∆x22x⋅∆+⋅∆+∆x3x(x)=lim=2x+3，∆→x0∆x故y′=2x+3；ax(+∆x)axaxax∆fx(+∆x)−fx()e−ee(e−1)ax（2）由于lim=lim=lim=ae，∆→x0∆x∆→x0∆x∆→x0∆xax故y′=ae；fx(+∆x)−fx()cos((ax+∆x)+b)cos(−axb+)（3）由于lim=li

6、m=−asin(axb+)，∆→x0∆x∆→x0∆x故y′=−asin(axb+)；fx(+∆x)−fx()(x+∆x)sin(x+∆x)−xsinx（4）由于lim=lim∆→x0∆x∆→x0∆x∆⋅xsin(x+∆x)+x[sin(x+∆x)sin]−x=lim=sinx+xcosx，∆→x0∆x故y′=sinx+xcosx所属章节：第三章第二节难度：二级8．若函数Fx()在点x=a处连续，且Fx()≠0，问函数（1）fx()=xaFx−()，（2）fx()=(xaFx−)()在点x=a处是否可导？为什么？fa(+∆x)−fa(

7、)∆⋅xFa(+∆x)解答：（1）对函数fx()=xaFx−()，由于lim=lim=Fa()，∆→+x0∆x∆→+x0∆xfa(+∆x)−fa()−∆⋅xFa(+∆x)lim=lim=−Fa()，故函数在点x=a处不可导，因为左、右∆→−x0∆x∆→−x0∆x导数不相等；fa(+∆x)−fa()∆⋅xFa(+∆x)（2）对函数fx()=(xaFx−)()，lim=lim=Fa()，∆→+x0∆x∆→+x0∆xfa(+∆x)−fa()∆⋅xFa(+∆x)lim=lim=Fa()，故函数在点x=a处可导，因为左、右导数∆→−x0∆x∆

8、→−x0∆x相等。所属章节：第三章第二节难度：二级9．按定义证明：（1）可导的偶函数的导数是奇函数；（2）可导的奇函数的导数是偶函数；（3）可导的周期函数的导数仍是周期导数，且周期不变。解答：（1）设fx()为可导的偶函数，则f(−+