南邮离散数学第5章代数结构.ppt

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1、代数结构又称为代数系统或抽象代数。用代数方法建立的模型称为代数系统。它在计算机领域有重要作用，特别是计算机安全方面：加密、解密等方面会用到代数系统的理论。代数系统的引入运算及其性质半群群与子群阿贝尔群和循环群陪集与拉格朗日定理同态与同构环与域第五章代数结构g:RRg(x)=x求不小于x的最小整数2=2,2.3=3-2=-2,-2.3=-2则g为R上的一元运算1、n元运算：f:AnB的函数，则称f为A上的n元运算（代数系统中运算的概念）如f:NNf(n)=n+1则f为一元运算f:QRf(x)=则f是Q上的一元运算5-1代数系统的引入f:R2Rfx

2、,yxy(或xy,xyxy)则f是R上的二元运算在数学中，用/来表示运算，而在代数系统中，用*表示运算（注意：*是一个抽象的运算符号，可表示或其他运算）*：A2Ba*b*=a*b可用函数来表示运算，也可利用给出运算结果来表示一个运算：如A=*5-1代数系统的引入3、代数系统：定义：非空A，若干个A上的运算f1,f2,.fk所组成的系统称为一个代数系统，记作〈A,f1,f2,...,fk>如〈N，+〉，Q，+，-，均是代数系统若S，则P(

3、s),,也是代数系统则不封闭而f(x)=2、封闭：对于*：AnB若BA，则称运算*是封闭的对代数系统而言，其上定义的运算未必封闭如上面所举例f(n)=n+1g(x)=x等则分别在N，在R上封闭5-1代数系统的引入2、交换律：〈A，*〉，*是A上的二元运算，若对a,ba*b=b*a,则称*是可交换的。例A=Q（Q为有理数集），为Q上二元运算，定义a,bQ，ab=a+b-ab,则是可交换的，∵ab=a+b-ab,ba=b+a-ba=a+b-ab=ab,是可交换的。1、封闭性：〈A，*〉，即*是A上二元运算，如果对a,b,都有

4、则称运算*是封闭的。5-2代数系统的基本性质3、结合律：〈A，*〉，*是A上的二元运算，若对a,b，c都有(a*b)*c=a*(b*c),则称*是可结合的。5-2代数系统的基本性质4、分配律：若对a,b,c有a(bc)=(ab)(ac),(bc)a=(ba)(ca)则称对于是可分配的（要求左右分配均满足）如a(b+c)=ab+ac(b+c)a=ba+ca是一般定义上的抽象符号。例A=，，如下*则对可分配吗？对呢？（）　

5、*要求对集合A中任意元素都成立，共有82种左右分配，一一验证可知成立，∴对可分配而对不分配：（而∴对不可分配?5-2代数系统的基本性质5、吸收律：〈A，*，〉，*，均可交换，若a,b,有a(ab)=a,a(ab)=a,则称和满足吸收律。例：*运算：a*b=max(a,b)运算：ab=min(a,b)可交换成立a(ab)=max(a,min(a,b))=a,a(a*b)=min(a,max(a,b))=a∴吸收律成立例：，也满足吸收律。【有P(P

6、Q)=P；P(PQ)=P】5-2代数系统的基本性质6、等幂律：〈A，*〉，若对aA,有a*a=a,则称*是等幂的或是幂等的。对幂等运算有nN且n>1,an=a例：S,对代数系统,AP(s),有AA=A,AA=A,∴,是等幂的5-2代数系统的基本性质7、幺元（单位元）：〈A，*〉，若有elA,对xA,有el*x=x,则称el为A中关于*的左幺元。【如A=R，*：xR,1x=x∴1是左幺元】若有erA,对xA,xer=x,则称er为A关于*的右幺元。【如x1=x∴1也是右幺元】若有eA,e既是左幺元又是右幺

7、元，则称e是A上关于*的幺元。【1是R上关于的幺元】R上关于+的幺元为0（∵0+x=x+0=x）5-2代数系统的基本性质不同运算可有不同幺元，也可无幺元。可有左幺元而无右幺元；有右幺元而无左幺元。若存在el和er则必有幺元存在定理：〈A，*〉，*是A上的二元运算，若左幺元el和右幺元er，则er=el=e，且e是唯一的。证明：（e是幺元）设er，elA，el=el*er=er=e（唯一性）假设若有幺元e1A，则e1=e1*e=e∴e是唯一的。5-2代数系统的基本性质8、零元：〈A，*〉，若有l