学案3平面向量的数量积.ppt

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1、学案3平面向量的数量积平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.这一部分是向量的核心内容，高考的一个命题点，填空题、选择题重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题.1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,则叫做a与b的数量积(或内积),记作.规定:零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂

2、直的充要条件是,两个非零向量a与b平行的充要条件是.

3、a

4、

5、b

6、·cosa·b=

7、a

8、

9、b

10、·cos0a·b=0a·b=±

11、a

12、

13、b

14、2.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

15、a

16、与b在a的方向上的投影的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)e·a=a·e=;(2)非零向量a,b,a⊥b;(3)当a与b同向时,a·b=;当a与b反向时,a·b=,a·a=,

17、a

18、=;

19、b

20、cos

21、a

22、cosa·b=0

23、a

24、

25、b

26、-

27、a

28、

29、b

30、a2(4)cosθ=;(5)

31、a·b

32、

33、a

34、

35、b

36、.4.平面向量数量积满足的运算律(1

37、)a·b=(交换律);(2)(λa)·b==(λ为实数);(3)(a+b)·c=.≤b·aλa·ba·λba·c+b·c5.平面向量数量积有关性质的坐标表示(1)设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=,由此得到:若a=(x,y),则

38、a

39、2=或

40、a

41、=.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离

42、AB

43、=

44、AB

45、=.(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b.x1x2+y1y2=0x1x2+y1y2x2+y2已知向量a,b满足

46、a

47、=1,

48、b

49、=2,a与b的夹角为60°,则

50、a-b

51、=.【分析】求

52、a-b

53、可

54、先求

55、a-b

56、2.考点1数量积的计算【解析】

57、a-b

58、=【评析】求平面向量数量积的步骤:首先求a与b的夹角为θ,θ∈［0°,180°］,再分别求

59、a

60、,

61、b

62、,然后再求数量积即a·b=

63、a

64、

65、b

66、cosθ,若知道向量的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x∈〔-,〕.(1)求a·b及

67、a+b

68、;(2)若f(x)=a·b-

69、a+b

70、,求f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)a·b=cosxcos-sinxsin=cos2x,a+b=(cosx+cos,sinx–s

71、in),∵x∈[],∴cosx>0,∴

72、a+b

73、=2︱cosx︱.(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.∵x∈[],∴≤cosx≤1,∴当cosx=时,f(x)取得最小值为-;当cosx=1时,f(x)取得最大值为-1.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b.若

74、a

75、=1,则

76、a

77、2+

78、b

79、2+

80、c

81、2的值是.【分析】由垂直的充要条件,寻找

82、a

83、,

84、b

85、,

86、c

87、之间的关系.考点2利用向量解决垂直问题【解析】∵a⊥b,b=-a-c,∴a·b=a·(-a-c)=-

88、a

89、2-a·c=0

90、,∴a·c=-

91、a

92、2=-1.又∵(a-b)⊥c,∴(a-b)·c=0,∴a·c=b·c=-1.∵a=-b-c,∴

93、a

94、2=

95、b

96、2+

97、c

98、2+2b·c,∴

99、b

100、2+

101、c

102、2=

103、a

104、2-2b·c=3,∴

105、a

106、2+

107、b

108、2+

109、c

110、2=4.【评析】垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥ba1a2+b1b2=0,a∥ba1b2-a2b1=0.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π).(1)求证:a+b与a

111、-b互相垂直;(2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-α(其中k为非零实数).(1)证明:(a+b)·(a-b)=a2-b2=

112、a

113、2-

114、b

115、2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0,∴a+b与a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),

116、ka+b

117、=,

118、a-kb

119、=.∵

120、ka+b

121、=

122、a-kb

123、,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α).又k≠0,∴cos(β-α)=0.而0<α<β<π,∴β-α=.已知

124、a

125、=1,a·b=,(a-b)·(

126、a+b)=