正方体中涂色问题的解题技巧.pdf

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1、三个面都染色的在8个顶点处，三个面都染色的在12条棱的中间段（去掉每条横两头的各一个），一面有色的在各个面的中央，没有着色的在长方体的中在。对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下：三面涂色的：8块二面涂色的：（n－2）×12一面涂色的：（n－2）×（n－2）×6对于一个a×b×c的长方体，其涂色情况如下：三面涂色的：8块二面涂色的：[（a－2）＋（c－2）]×4一面涂色的：[（a－2）×（b－2）＋（a－2）×（c－2）＋（b－2）×（c－2）]×2正方体中涂色问题的解题技巧在人教版小学五年级下期教学《长方体和正方体的表面积》后，一位同学拿来

2、了一道题来问我：把一个棱长是6厘米的正方体表面涂成红色，然后把它截成棱长1厘米的小正方体，请观察有二个面涂成红色的正方体有多少个？我觉得本题很有意思，如果运用得好，对学生的动手能力、思维发展能力，对激发学生的学习兴趣会取得很好的效果。对于这道题，我没有及时给学生讲解方法，而是专门用了一节课的时间，让全班同学一起来探讨这类题的解决方法。我充分利用学生手中的小正方体（我在上长方体和正方体的认识时，每个学生都做了2个边长1厘米的小正方体），首先让学生用小正方体拼成一个较大的小正方体，用了8个拼成边长2厘米的正方体，然后给它的表面涂色，再截开成8个小正方

3、体，学生很容易观察出一面涂色没有，两面涂色没有，三面涂色8个；再接着拼，用了27个拼成边长3厘米的正方体，涂色，再截开，归类出一面涂色6个，两面涂色12，三面涂色8个,没有涂色27－6－12－8＝1个；第三次拼，用了64个拼成边长4厘米的正方体，涂色，截开，观察出一面涂色24个，两面涂色24个，三面涂色8个,没有涂色64－24－24－8＝8个;我接着用课件演示125个涂色正方体截成小正方体，然后归类，观察出一面涂色54个，两面涂色36个，三面涂色8个,没有涂色125－54－36－8＝27个……在实际解题中，我们的学生如果每种情况都这样去分析，显得

4、太麻烦，我为了充分调动学生的积极性，激发学生的学习兴趣，让学生主动探究出有没有更好的方法或规律来解决这类题型，我出示了课件：把一个涂色的棱长3厘米的正方体截成棱长1厘米的小正方体，你能不能不截开直接观察出涂色的情况？学生通过小组合作探究并与展开激烈的讨论，许多学生碰撞出思维的火花，很快发现：①三面涂色都有8个（8个顶点）；②一面涂色的原正方体每个面上有1个，共1×6＝6个；③二面涂色的原正方体每条棱上有1个，共1×12＝12个；④没有涂色就是最中间的1个。接着课件出示涂色后边长4厘米的正方体，学生同样发现：①三面涂色都有8个；②一面涂色的原正方体

5、每个面上有2×2个，共2×2×6＝24个；③二面涂色的原正方体每条棱上有2个，共2×12＝24个；④没有涂色就是最中间的8（23）个。接着课件出示涂色后边长5厘米的正方体，学生同样发现：①三面涂色都有8个；②一面涂色的的原正方体每个面上有3×3个，共3×3×6＝54个；③二面涂色的原正方体每条棱上有3个，共3×12＝24个；④没有涂色就是最中间的27（33）个。根据以上三种情况，我通过小组讨论,让学生在对比中很快就发现了：①截的过程实际就是正方体每条棱等分的过程；②无论哪种情况，三面涂色都有8个，就在8个顶点上的小正方体；③一面涂色的原正方体每个

6、面上有（棱长数－2）×（棱长数－2）个，总个数：（棱长数－2）×（棱长数－2）×6个；④二面涂色的原正方体每条棱上的个数是（棱长数－2）个，共（棱长数－2）×12个；⑤没有涂色的个数依次是0、1、8、27……实际上就是一个数的立方，也就是（棱长数－2）3个。根据学生的汇报，我及时总结出正方体中涂色问题的解题技巧：把一个棱长n厘米的涂色正方体截成棱长1厘米的小正方体（也就是把正方体的各棱长n等份）。由于一个正方体无论从哪个角度去看，都只能看见三个面，所以在截开后的小正方体中涂色只有三个面、两个面、一个面、没有涂色四种情况。则一面涂色的小正方体有：（

7、n-2）×（n-2）×6个；二面涂色的小正方体有：（n-2）×12个；三面涂色的小正方体有：8个（8个顶点处的正方体）；没有涂色的小正方体有：（n-2）3个。运用此结论学生很容易就解决出“把一个棱长是6厘米的正方体表面涂成红色，把它截成棱长1厘米的小正方体，请观察有二个面涂成红色的正方体有多少个？”这个问题，一面涂色的小正方体有（6-2）×（6-2）×6＝96个；二面涂色的小正方体有（6-2）×12＝48个，三面涂色的小正方体有8个；没有涂色的小正方体有（6-2）3＝64个。在小学数学课堂教学中，学生的潜能是无限的，关键是我们在课堂教学中如何抓住

8、学生的闪光点，让课堂真正成为有效的课堂，提高课堂教学效率。特别是我们在几何知识教学中，要充分利用点、线、面、体及它们的关系，提高学生的空