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1、焦点专题3导数与函数综合问题(上)【基础盘点】1、判断函数单调性四法：①“和、积函数型”观察法：(i)“增函数＋增函数”为，如；(ii)“正的增函数×正的增函数”为，如；②“复合函数型”箭头分析法：在中，令，有，当，，时，为函数，当，，时，为函数，当，，时，为函数等，如的递减区间为.③“抽象函数型”定义法：(i)当时，，知为函数，如“已知对于任意的实数，满足，且当时，，求证为增函数”；(ii)当时，，知为函数，如“已知对于任意的正实数，满足，且当时，，求证为减函数”；xyOPQ1Q2y=f(x)④“具体函数型”
2、导数法：(i)为函数，(ii)为函数.2、导数的几何意义:如图,曲线在点处切线的斜率;切线方程为.3、用导数求函数的单调区间:解不等式可得函数的单调递区间;解不等式可得函数的单调递区间.4、知单调区间求参数的范围:函数在区间上为增函数在区间上恒成立;函数在区间上为减函数在区间上恒成立(且);通过研究恒成立问题求解参数的取值范围.5、导数与函数单调性的关系:(1)试求函数的单调区间,并说明单调区间端点值的取舍原则为;(2)试举一例子说明“函数在区间上为增函数在区间上恒成立”,例子.6、常用求导公式:①,,②,,③
3、,,④,.87、求导运算:①,②,③,④.【例题精选】【例1】(1)讨论函数的单调性，并画出其图象.【题情捉摸】(1)函数的定义域为，需在此定义域讨论该函数的单调性；(2)的单调性与的取值密切相关，当时，可用法得到其单调性，当时，也可用法得到其单调性，当时，可用法研究其单调性，再根据每种情况下的单调性可画出其图象.(2)已知函数在区间上为增函数,求实数的取值范围.【题情捉摸】(1)在上为增函数恒成立;(2)得在上恒成立,于是得的取值范围.【例2】(1)函数的递增区间为.【题情捉摸】(1)计算得;(2)令0,解得
4、.8(2)已知函数,试讨论的单调性.【题情捉摸】(1)注意到的定义域为,算得;(2)由于,故只需抓住,讨论它在上的正、负即可.【真题回顾】1、(2008广东理改)设，函数，，试讨论函数的单调性.8【名模精选】2、(2010惠州二模文)曲线在处的切线方程为A.B.C.D.3、(2010广州二模理)已知函数,若且,则下列不等式中正确的是A.B.C.D.4、(2010广州一模文)已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且1是其中一个零点.(1)求的值；(2)求的取值范围；(3)试探究直线与函数的图像交
5、点个数的情况，并说明理由.5、(2010广州二模文)已知函数(R)的一个极值点为.方程的两个实根为,函数在区间上是单调的.(1)求的值;(2)求的取值范围.8【参考答案】【例1】(1)解：可得函数的定义域为，①当时，，函数在上为增函数；②当时，，函数在上为增函数；③当时，，令，得，，当或时，，单调递增，当或时，，单调递减，这时在上为增函数；在上为减函数；xyO图cxyO图b由上面的单调性知，当时，的图象如图，当时，的图象如图，当时，的图象如图，xyO图a(2)(2)解:得恒成立,当在上为增函数时,有,即恒成立,
6、∴.填【例2】(1)解:由或.故填.(2)解:(1)函数的定义域为,,∵,令,其对称轴为.(i)当,即时,,在上恒成立,即有,在上为增函数;(ii)当,且,即时,,有恒成立,在上为增函数;(iii)当,,那么时,,,所以是增函数;8(iv)当时,,方程有两不等实根,且均为正数,当或时,,,是增函数,当时,,,是减函数;综上:当时,在是增函数;当时,在,是增函数,在是减函数.1、解：，(1)当时，若，，在上为增函数，若，，令，得，解得，令，得，令，得，这时在上为减函数，在上为增函数；(2)当时，若，，在上为增函数
7、，若，，在上为减函数，(3)当时，若，，令，解得，(舍去)，令，得，解得，令，得或，又，知函数在上是增函数，在上是减函数；若，，在上是减函数；综上所述，当时，在，上为增函数，在上为减函数；当时，在上为增函数，在上为减函数；当时，8在上是增函数，在，上是减函数.2～3BD4.(1)解：∵，∴.∵在上是减函数，在上是增函数，∴当时，取到极小值，即.∴.(2)解：由(1)知，，∵1是函数的一个零点，即，∴.∵的两个根分别为，.∵在上是增函数，且函数在上有三个零点，∴，即.于是.故的取值范围为.(3)解：由(2)知，且
8、.要讨论直线与函数图像的交点个数情况，即求方程组解的个数情况.由，得.即.即.∴或.由方程，(*)得.∵，若，即，解得.此时方程(*)无实数解.若，即，解得.此时方程(*)有一个实数解.若，即，解得.此时方程(*)有两个实数解，分别为，.且当时，，.综上所述，当时，直线与函数的图像有一个交点.当或时，直线与函数的图像有二个交点.当且时，直线与函数的图像有三个交点.85.解:(1)∵,∴
