重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第三章第二节 导数与函数的单调性指导课件 新人教A版 .ppt

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1、第二节　导数与函数的单调性一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．处理导数与函数的单调性的问题时要搞懂如下三个关系：(1)f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系：f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．(3)f′(

2、x)≥0与f(x)为增函数的关系：f(x)为增函数，一定可以推出f′(x)≥0，但反之不一定，因为f′(x)≥0，即为f′(x)＞0或f′(x)＝0.当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数，函数不具有单调性．∴f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．(2)f′(x)≠0时，f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系：f(x)为增函数，就一定有f′(x)＞0；反之，f′(x)＞0，一定有f(x)为增函数．∴当f′(x)≠0时，f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分必要条件．1

3、．(教材改编题)函数y＝x3＋x在R上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析：∵y＝x3＋x，∴y′＝3x2＋1＞0恒成立．∴y＝x3＋x在R上是增函数．答案：A2．(教材改编题)函数y＝x－sinx(x∈(－))的单调增区间是()A．(－,0)B．(0，)C．(－，)D．(－，)解析：∵y＝x－sinx，∴y′＝1－cosx，当x∈(－，)时，恒有y′≥0(x＝0时，“＝”号成立)∴y＝x－sinx在(－，)上是增函数．答案：C3．函数f(x)＝x3－3x2＋2的单调递减区间为

4、()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(0,2)D．(－∞，0)解析：∵y′＝3x2－6x＝3x(x－2)，令y′＜0，即3x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.答案：Ck4．(原创)若函数f(x)＝x3＋3x2＋ax＋1是R上的增函数，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x3＋3x2＋ax＋1，∴f′(x)＝3x2＋6x＋a.又f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0，即3x2＋6x＋a≥0恒成立，即－a≤3x2＋6x.∵y＝3x2＋6x＝3(x＋1)2－3≥－3，即(3x2

5、＋6x)min＝－3，∴－a≤－3，即a≥3.答案：[3，＋∞)5．(文)(教材改编题)设函数f(x)＝cosx＋x，x∈(0，π)，则f()与f()的大小关系是________．解析：∵f′(x)＝－sinx＋1≥0，∴f(x)在(0，π)上是增函数又＞，∴f()＞f()．答案：f()＞f()答案：f()＞f()(理)(教材改编题)如果函数f(x)＝ln(x＋1)－x，则f(1)与f(e)的大小关系为________．解析：∵f(x)＝ln(x＋1)－x，∴f′(x)＝－1＝.令f′(x)＜0

6、，即－＜0，∴x(x＋1)＞0，即x＞0或x＜－1(舍，因为f(x)的定义域为{x

7、x＞－1})即在(0，＋∞)上，f(x)是减函数，又e＞1.∴f(e)＜f(1)．答案：f(e)＜f(1)(1)当a＝0时，若x＜0，则f′(x)＜0；若x＞0，则f′(x)＞0.∴当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数求函数的单调区间(2)当a＞0时，由2x＋ax2＞0，解得x＜－，或x＞0；由2x＋ax2＜0，解得－＜x＜0.∴当a＞0时，函数f(x)在区间(－∞，

8、－)内为增函数；在区间(－，0)内为减函数；在区间(0，＋∞)内为增函数．(3)当a＜0时，由2x＋ax2＞0，解得0＜x＜－；由2x＋ax2＜0，解得x＜0或x＞－.∴当a＜0时，函数f(x)在区间(－∞，0)为减函数；在区间(0，－)内增函数；在区间(－，＋∞)内为减函数．【变式探究】1.求函数y＝2x2－lnx的单调区间．解：∵y′＝4x－＝，函数的定义域为(0，＋∞)，令y′＜0，得x∈(0，)；令y′＞0，得x∈(，＋∞)．∴函数的增区间为(，＋∞)，函数的减区间为(0，)．方法技巧：

9、求可导函数单调区间的一般步骤1.确定函数f（x）的定义域；2.求f′（x），令f′（x）=0，求出它在定义域内的一切实根；3.把函数f（x）的间断点（即f（x）的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把f（x）的定义区间分成若干个小区间；4.确定f′（x）在各个开区间内的符号，根据f′（x）的符号判定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性.当f（x）不含参数时，可直接通过解不等式f′（x）＞0（或f′（x）＜0）得到函数f（x）的单调区间，带有参数