难点04 基本不等式作为工具的应用问题（教学案）-备战2015年的高考数学二轮复习精品资料（文理通用）（原卷版）.doc

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1、不等式问题始终是高考数学的热点题型之一，而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例，对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析，供参考．I基础知识II拓展1．一个重要的不等式链：．2．函数图象及性质（1）函数图象如右图所示：（2）函数性质：①值域：；7汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！②单调递增区间：；单调递减区间：．注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定

2、积最大”；（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．III基本不等式的应用一、利用基本不等式求最值类型一给出定值例1．【2013年普通高等学校统一考试天津卷文理科】设a+b=2，b>0，则当a=时，取得最小值．变式1．【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A．B．C．D．变式2．【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】设正实数满足，则当取得最大值时，的最

3、大值为（）A．B．C．D．[来源:学&科&网]变式3．设是正实数，且，则的最小值是__________．[来源:学§科§网Z§X§X§K]7汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！变式4．【2014高考上海理科第题】若实数x，y满足xy=1，则+的最小值为______________．变式5．【2014高考上海卷文第6题】若实数x，y满足xy=1，则+的最小值为______________．类型二未知定值例2．【2014高考重庆卷文第9题】若的最小值是()A.B．C．D．应用基本不等式求函数最值常用技巧有：技巧一：凑

4、项例3．已知，求函数的最大值．变式．【安徽望江中学2014届高三上期中考试(文)】当x>1时，不等式x－2＋≥恒成立，则实数的取值范围是(　　)A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，1]技巧二：凑系数[来源:Zxxk.Com]例4．当时，求的最大值．变式．设，求函数的最大值．技巧三：分离例5．求的值域．技巧四：换元上述例5也可以用换元法求解．7汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！例6．已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值．技巧五：整体代换例7．【金太阳“巴蜀好教育联盟

5、”(四川)12月大联考数学(理工类)】已知x＞－1，y＞0且满足x＋2y＝1，则的最小值为_____________．例8．已知，且，求的最小值．技巧六：取平方例9．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值．变式．求函数的最大值．技巧七：构造要求一个目标函数的最值，我们利用基本不等式构造一个以为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得的最值．例10．【宿迁市2015届高三年级摸底考试数学试题】若，，是实数，则的最大值是．变式1．【2010重庆理】已知，，则的最小值为（）A．3B．4C．D．变式2．【20

6、11浙江高考题理16】设为实数，若，则的最大值是．7汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！变式3．【2011浙江高考题文16】若实数满足，则的最大值是．变式4．若正数满足，则的最小值为．技巧八：添加参数例11．若已知，则的最小值为．变式1．设是不全为零的实数，求的最大值．变式2．设是正实数，求的最小值．综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要“正”：各项或各因式必须为正数；二可“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错

7、；三能“等”：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值．应用二：利用基本不等式证明不等式基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，并且有很多不同的变形，如：等，所以利用基本不等式及其变式证明不等式既方便又具有很大的技巧．类型一轮换对称型例12．设求证：．类型二用“1”代换型[来源:学_科_网Z_X_X_K]7汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！例13．已知，且，求证：．例14．已知且．求证：．例15．若且，求证：．应用三：基本不等式与恒成立问题例16．已知且，求

8、使不等式恒成立的实数的取值范围．例17．若对任意的正实数恒成立，求的最小值．应用四：均值定理在比较大小中的应用例18．若，则的大小关系是．应用五：利用基本不等式处理实际问题[来源:学.科.网]例19．有一边长为（）的长方形纸板，在四个角各裁出一个大小相同的正方形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使盒子的