多自由度系统的动力学方程.ppt

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1、矩阵形式：存在惯性耦合存在弹性耦合多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？即：若能够，则有：方程解耦，变成了两个单自由度问题使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？ABCDa1a2el1l2lk1k2选取D点的垂直位移及角位移作为坐标选取质心C点的垂直位移及角位移作为坐标多自由度系统振

2、动/多自由度系统的动力学方程令：令：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程D点和C点的坐标之间的关系：写成矩阵形式：坐标变换矩阵eDCDCCD和的关系在C点加一对大小相等、方向相反的力得：写成矩阵形式：T非奇异，因此：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程得：验证：将代入D点的方程，并左乘：多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程结论：假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X和Y有如下的变换关系：其中T是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：那么在坐标Y下的运动微分方程为：如果恰巧Y是

3、主坐标：对角阵这样的T是否存在？如何寻找？多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动固有频率模态模态的正交性主质量和主刚度模态叠加法模态截断法多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的固有频率作用力方程：固有振动方程：在考虑系统的固有振动时，首先考察系统的同步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。假设系统的运动为：运动规律的时间函数常数列向量多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动代入，并左乘：：常数M正定，K正定或半正定对于非零列向

4、量：令：对于半正定系统，有对于正定系统必有多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动a、b、为常数正定系统（1）正定系统只可能出现形如的同步运动系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动（2）半正定系统半正定系统可能出现形如的同步运动也可能出现形如的同步运动（不发生弹性变形）主振动首先讨论正定系统的主振动M正定，K正定主振动：正定系统：将常数a并入中代入振动方程：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零特征方程解出n个值，

5、按升序排列为：：第i阶固有频率频率方程或特征多项式仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数：基频多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率位移方程：柔度矩阵自由振动的位移方程：主振动：代入，得：特征值？解释：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率位移方程：柔度矩阵自由振动的位移方程：主振动：代入，得：特征值特征方程：特征根按降序排列：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动例：三自由度系统m2kmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多

6、自由度系统的模态（主振型）正定系统：主振动：特征值问题：特征值特征向量n自由度系统：（固有频率）（模态）一一对应代入，有：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动当不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一个是不独立的设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用表示的否则应把含的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动为使计算简单，令：则有：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振

7、动当不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一个不独立设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端例：三自由度系统2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动以为例进行说明将代入，有：由第三个方程，得：代入第二个方程：与第一个方程相同方程组中有一式不独立例如，将第三个方程去掉因此若令可解出多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动整理令：解得：的值也可以取任意非零常数将解得特征向量在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为

8、归一化多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动正定系统：主振动：将，代入主振动方程并将改为第i阶主振动：系统在各个坐标上都将以第i阶固有频率做简谐振动，并且同时通过静平衡位置多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动第i阶主振动：比值：第i阶特征向量中的一列元素，就是系统做第i阶主振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定描述了系统做第i阶主振动时具有的振动形态，称