定理推导出异面直线上两点间距离的方法；2.通过公式的推.ppt

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1、第一章直线和平面两个平面垂直的判定和性质（三）教学目标1．使学生掌握利用有关定理推导出异面直线上两点间距离的方法；2．通过公式的推导及对例题的剖析，培养学生在分析解决问题时严谨的逻辑思维能力．教学重点和难点异面直线上两点间距离的推导过程．教学用具两根直细木棍，其上分别有一个用醒目颜色标识的点．教学设计过程师：上节课我们小结了有关垂直的定理，整理了解决与垂直问题有关的问题的解题思路，并且留下了两个思考题．首先看第一题：（板书）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，且BE=EB1．求证：截

2、面A1EC⊥侧面AC1．师；这道题的结论是面面垂直．要想解决这个问题，需要在其中一个平面中找到或作出另一平面的一条垂线，也就是转化为解决线面垂直的问题．分析已知，由正三棱柱可知：△ABC，△A1B1C1都是正三角形，而侧棱AA1⊥面ABC．由面面垂直的判定定理可证侧面AC1与底面ABC垂直．于是在面ABC内可作出侧面AC1的垂线．可在平面A1EC中如何找到一条直线垂直于侧面AC1呢？这一点是从已知到未知的关键所在，解决了这一点，也就搭起了从已知到未知的桥梁．哪位同学解决了这个问题呢？生甲：取AC中点

3、F，连结BF，作FG∥AA1交A1C于G，连结GE．因为FG∥AA1，F是AC中点，又因为 正三棱柱ABC-A1B1C1，所以AA1BB1，所以FGBE，所以 四边形FGEB是平行四边形．所以BF∥GE．又因为 正△ABC，所以BF⊥AC，又因为AA1⊥面ABC所以AA1⊥BF因此BF⊥面AC1所以GE⊥面AC1所以 面AEC⊥面AC1．师：很好．充分利用线面之间垂直关系，在平面ACE内找到了直线EG，EG⊥面AC1，使问题得以解决．生乙：还可以延展平面A1EC．分别延长CE，C1B1交于点D，连结

4、A1D．因为 正三棱柱ABC-A1B1C1所以AA1⊥面A1B1C1，所以A1A⊥A1D．所以 在△DCC1中，有DB1=B1C1．又因为 正△A1B1C1，所以A1B1=B1C1=DB1，所以 ∠A1C1B1=∠B1A1C1，∠B1DA1=∠B1A1D，因此 ∠C1A1D=90°，即A1C1⊥A1D．故A1D⊥面A1C．又A1D面A1EC，所以 面A1EC⊥面A1C．师：生乙的证明给的很新颖．通过延展平面．在更广的范围内寻找线A1D⊥面AC1．充分利用平面几何的知识，解决两条直线A1D⊥A1C1的

5、问题．学习立体几何的同时，不要忘记：当在同一平面内时，平面几何的定理仍然适用．师：好，下面请同学继续回答第二个问题：“影响异面直线上两点间距离的因素有哪些？”生：有三种因素：1．异面直线的距离；2．两点在直线上的位置；3．两条异面直线所成的角．师：很好．下面我们一起看一下，他所叙述的三点能不能影响异面直线上两点的距离，确定了这三点是不是距离就确定了．（取出两根细木棍，为叙述方便，称两点为A、B．演示上述三个方面变化对两点距离的影响．如果回答的三个方面不准确，可通过演示最终解决）师：通过演示，可以看出

6、，要想确定异面直线上两点的距离，必须要控制这三个因素．一是异面直线的距离——用公垂线段的长控制．二是两点在直线上的位置——用点到公垂线垂足的距离控制．三是两条异面直线的方向——用两直线所成角控制．下面我们给出这三组数据，一起来推导异面直线上两点间的距离公式．（板书）已知两条异面直线a，b所成角为θ，它们的公垂线段AA′，长度为d．在直线a，b上分别取点E，F，设A′E=m，AF=n，求EF．师：要画出两条异面直线，需要用一个平面衬托．选择什么样的平面呢？结合已知仔细想一下．生：因为两条异面直线所成的

7、角是要作出来才好用的，所以选择过直线b且与直线a平行的平面．师：满足条件的平面有无数个，哪个位置最好？生：过公垂线段在直线b上的垂足A，作直线a′∥a，则a′，b确定平面α．师：这个平面选的好．因为AA′⊥a，所以AA′⊥a′，又AA′⊥b，所以AA′⊥α．下面我们作出这个图形，来求解EF．师：观察图形，要求EF，需充分利用已知数据，应想办法将条件集中．生：过E作EG⊥a′于G，连结GF．因为a∥a′，所以a，a′确定平面β．因为AA′⊥α，所以β⊥α．又EG⊥α′，因此EG⊥α，所以 △EFG为直

8、角三角形，且EG∥AA′，所以 四边形A′AGE是平行四边形，所以AG=A′E=m，EG=AA′=d．又AF=n，所以 在△GAF中，所以 在Rt△EFG中师：分析公式，与平面几何中的余弦定理相类似，可类比记忆．要利用公式计算距离，需提供4个数据m，n，d，θ，要一一指实后再代入计算．所以这个公式应用起来并不方便．而图形构造好后，公式的推导过程倒是简单自然．因此，遇到具体问题时常常按推导过程逐一进行计算，最终求出这两点的距离．所以对这个公式，把握的重点是推导的方法．师