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《对于序列s0, s1, …,sn,若存在一个整数t,0≤ t≤ n,使得s0 ≤ s1.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、对于序列s0,s1,…,sn，若存在一个整数t，0≤t≤n，使得s0≤s1≤…≤st同时st≥st＋1≥sn；则称该序列是单峰的。单峰性序列中有个最大值，它可以是一个元素，也可以是两个元素。第五章二项式系数5.4二项式系数的单峰性1例如1234554321135797531均是单峰序列。定理5.4.1设n为正整数，则二项式序列是单峰序列。2当n是偶数时：当n是奇数时：3证明：考虑二项式序列中两个相邻的系数的比，令1≤k≤n。于是：4相邻系数的大小关系完全由k与n-k+1的大小决定。当k＜n-k+1
2、(分母小于分子)时,相邻项比大于1；此刻k的位置应该在前一半里，即：k＜(n+1)/2。如果n是偶数，上式等价于：k≤n/2；如果n是奇数，上式等价于：k≤(n-1)/2；5这两中情况下二项式系数的后项都大于前项，属递增。当k=n-k+1时2k=(n+1)。如果n是偶数，2k(n+1)；如果n是奇数，2k=(n+1)；对于偶数n，二项式系数中没有相等的相邻项，对于奇数n，二项式系数中有唯一相等的相邻项6它们是：二项式系数按照先增后减的方式变化。关于弱取整与强取整定义：对任意实数x,令表示小于或等
3、于x的最大整数。称为x的弱取整。表示大于或等于x的最小整数。称为x的强取整。7例如：8推论5.4.2对于正整数n，二项式系数:的最大者为:该定理可以通过二项式系数的单峰性定理5.4.1和弱取整函数与强取整函数的性质观察得到。9第五章二项式系数5.5多项式定理5.5多项式定理二项式定理仅仅给出了两个数之和的n次幂的(x＋y)n展开公式，我们可以将公式推广到三个(x＋y＋z)n甚至t个数的和的n次幂展开式：(x1＋x2＋……＋xt)n10在一般公式中，二项式系数被多项式系数代替，并且把多项式系数定义为
4、：其中n1,n2,…,nt都是满足的非负整数11由P39页3.4节多重集合的知识可知，多项式系数表示重数分别为n1,n2,…..,nt的t种不同类型物体的多重集的排列个数。对于非负整数n和k，从n元集合中选择k个类型元素和未选中的n－k个类型元素按多项式系数理解可以为：12上式表示重数分别为k和n－k的两种类型物体多重集的排列个数。在这种记法中，对于正整数n和k的二项式系数的Pascal公式为：13多项式系数的Pascal公式为：我们可以通过几个实际例子来验证这个公式。令t=3,n1+n2+n3=
5、n于是有：1415上面我们讨论了多项式展开式系数的一些结论，接下来我们继续讨论多项式展开式项的有关结论。例：对于三项式(x＋y＋z)3我们利用直接乘积的方法将它展开：16通过上面的展开式可以看出，(x＋y＋z)3展开后的多项式中的每个单项式都具有：xiyjzk形式，其中i,j,k都是非负整数并且i+j+k=3,而该项的系数正好是：对于更一般地多项式展开，我们有下列定理：17定理5.5.1设n是一个正整数，则对于所有的x1,x2,…,xt其中求和对n1+n2+……+nt=n的所有的非负整数解n1，n
6、2，……，nt进行。利用和式可以将上式改写成：18证明：二项式(x＋y)n展开方式可以用n个(x＋y)相乘得到，同理(x1＋x2＋……＋xt)n也可以用n个(x1＋x2＋……＋xt)相乘得到。对于n个因子中的每一个，选择t个数x1,x2,……,xt中的一个进行乘积，用这种方法得到共有tn项，而且每一项都可以写成：x1n1x2n2……xtnt的形式，其中n1,n2,…,nt,是19非负整数，其和n1+n2+……+nt=n。通过选择n个因子中的n1个x1，剩下的n-n1个因子中的n2个为x2,……,剩
7、下的n-n1-……-nt-1个因子中的nt个为xt，得到x1n1x2n2……xtnt项。由乘法原理，项x1n1x2n2……xtnt出现的次数为：20这个数等于多项式系数：例在(x1+x2+x3+x4+x5)7的展开式中，求x12x3x43x5项的系数；解：由于n1=2,n2=0,n3=1,n4=3,n5=1;而n=721例在(2x1-3x2+5x3)6的展开式中x13x2x32的系数为：22结合广义排列原理我们得到下列结论：定理:将n个不同的元素分放在t个盒子T1,T2,…Tt中，在T1中放n1个
8、，在T2中放n2个，……在Tt中放nt个，其中ni(i=1,2,…,t)满足:，在同一盒子中元素之间的次序不计,则共有种放法。证明：该定理也可以这样描述：假设一个n项序23列S包含1类的n1个相同的对象,2类的n2个相同的对象,…,t类的nt个相同的对象。那么，总的排序数。我们给n项的每一项指定位置来构造S的序列。我们为1类的n1个项指定位置有种方法。指定之后，我们可以为2类的n2个项指定位置，有种方法，等等。根据乘法原理，24排列的方法数为：25推论：有n1个白球，n2个黑球…
