《二次函数》专题复习温习讲义教师版.doc

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1、áá一元二次函数ññ专题讲义知识梳理知识点1、二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝___ax2＋bx＋c(a≠0)______.②顶点式：f(x)＝__a(x－m)2＋n(a≠0)_______.③零点式：f(x)＝___a(x－x1)(x－x2)(a≠0)________________.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择

2、一般式、顶点式或零点式中的一种来求.①已知三个点的坐标时，宜用一般式.②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a>0a<0y∈[，＋∞)y∈(－∞，]a<0奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x∈(－∞，－]时递减，x∈[－，＋∞)时递增x∈(－∞，－]时递增，x∈[－，＋∞)

3、时递减图象特点①对称轴：x＝－；②顶点：(－，)3.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac>0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，M1M2＝x1－x2＝.知识点2二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当的图像与x轴无交点无实根的解集为或者是R;高二数学补课专题第15页共15页当的图像与x轴相切有两个相等的实根的解集为或者是R;当的图像与x轴有两个不同的交点有两个不等的实根的解集为或者是。知识点3二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上的最

4、值一般分为三种情况讨论：（1）若对称轴在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值）（2）若对称轴在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值；（3）若对称轴在区间内，则是函数的最小值（）或最大值（），再比较的大小决定函数的最大（小）值。点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。（2）二次函数在闭区间上的最值的讨

5、论的基点是对称轴与区间的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基点进行讨论。特别要注意二次项系数的符号对抛物线开口及结论的影响。知识点4一元二次方程实根分布的充要条件二次方程根的分布问题：可以运用公式法先求出方程的根，再列出等价条件组，也可以引入二次函数，由函数的图象特征列出等价的条件组，应因题而异，优化解题的思路高二数学补课专题第15页共15页根的情况a>0时图a<0时图充要条件两个根均小于m两个根都大于n一个大于m，另一个小于m的根(x1-m)(x2-m)<0af(m)<0在区

6、间(m,n)内有且仅有一个根f(m)f(n)<0在区间(m,n)之外有两个根在区间(m,n)内有两个实数根[总之]找一个一元二次方程根的分布注意条件：1，判别式；2，对称轴位置；3，端点的函数值。题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.高二数学补课专题第15页共15页解方法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意有解之，得∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.方法二设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0

7、.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.∴m＝.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之，得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三依题意知：f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究提高二次函数的解析式有

8、三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).题型二二次函数的单调性例2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(x)的单调区间.解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1