关于Riccati方程可积性条件的讨论.pdf

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1、2011年9月西安石油大学学报(自然科学版)Sep.2011第26卷第5期JournalofXianShiyouUniversity(NaturalScienceEdition)V01.26No.5文章编号:1673-064X(2011)05-0107-04关于Riccati方程可积性条件的讨论冯录祥(宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721013)摘要:利用变量变换的方法,得到了Riccati方程的一个新的可积性条件及其在这些条件下的通积分.此结果优化和推广了文献[1]中的结果,而且包含了已有文献中的一批结论,最后给出定理应用的例子.关键词:Riccati方程

2、;可积性条件;通积分中图分类号:O175.11文献标识码:A法国数学家Liouville在1841年证明了著名的Riccati方程Y=P(x)y+Q(x)y+R(x)(1)一般是不可积的,但Riccati方程在历史上和近代都有重要的应用.研究Riccati方程可积的条件,一直是可积理论的重要课题.近年来许多学者都曾对Riccati方程的可积性做过研究工作_1剖.文献[1]在2006年曾得到过Riccati方程(1)的一个可积条件及其通积分,但这些条件结构比较复杂.本文利用变量变换的思想,对文献[1]的结果进行推广,得到了Riccati方程(1)的另一个可积

3、条件及其在该条件下的通积分.值得指出的是,所得条件结构简单、便于检验,极大地优化了文献[1]中的条件,同时,所得结果应用范围更广.为方便,记P=P()≠0,Q=Q(),R=R(),Yo:Y。(),并用“J’'表示被积函数的任一个确定的原函数.1主要结果引理若Yo是Riccati方程(1)的一个解,则(1)的通积分为Y=——f_(2PY二n_+口—)dx—一+Yo.c—IPeJ(Pyo口)如dxJ注:对Riccati方程(1)作变换Y:“+Y0易得.定理若存在常数tl,及函数使得L[yo]=一口PeJ(2PYo。’,(2)则Riccati方程(1)可积,且(

4、i)当口=0时,方程(1)的通积分为ef(2Pyo+Q)dx。;(3)(ii)当口≠0时,方程(1)的通积分为收稿日期:2010.11-15基金项目:陕西省教育厅科研计划项目(~-:2010JK400);宝鸡文理学院重点科研资助项目(编号:ZK1014)作者简介:冯录祥(1954一),男,教授,主要从事常微分方程研究.E-mail:fengluxiang@126.com-——108西安石油大学学报(自然科学版)),二2iaef(2Pyo+q)d~V=~+,。Tpe/f⋯(2,o+‘YQ,)~出上+y^,】⋯。。.‘(4)ce一2。州毋。。一其中,L[Yo]

5、=一Y。+Pyo+Qro+R.证明:(i)a=0时,~L[yo]=0,此时J~Riccati方程(1)的一个特解,据引理知Riccati方程(1)可积,通积分为式(3)(ii)a≠0时,作变换:y=at)+yo(U,是待定函数),则,,=+u+Y。.把y,y的表达式代人Riccati方程(1),整理得+——·一(2PYo+Q)]=P“+L[xo],U+-u令+‘一(2Py。+Q’)=0,则等=2Py。+q.两边关于求积分,易得M“=kef(‰+Q)出(≠0为任意常数).取其一个特解=aJ‘口,此时,由已知条件有L[Yo]+Pu=tirol+Pa2e2J‘‰

6、+Q)=0.故Riccati方程(1)有特解Y=u+Yo=口e‰+,据引理知Riccati方程(1)可积,通积分为),=eJ(毋+q)ax+),C一fPe』(毋+Q)出dJ51.2Py+Q=2aPe』(2‰。山+(2PY+Q),于是e毋+Q)出:e2。e』‘‰.e+Qo.所以,Pe』(2毋出=e』(2‘e2。血出=[e2.fPo‰十Q)出]=1e2』(‰出故Y=eJ(竹Q)出+e2。eJ‘‰。山.ef

7、.该结果包含了已有文献中有关Riccati方程可积性的一大批结论.推论1⋯若存在函数A()、Y。∈C,A()≠0及常数,使得条件L[yo]=AeJ(2PY0Q)k—APe‰。出dAeJ(Q)出成立,则Riccati方程(1)有一个特解),o=+,从而Riccati方程(1)可积,通积分k—Pe』(2PYo+口)dJ为Y=eJ(‰Q)dx+Y0·C~Pe+口’do=二.Ae—f(2Pyo+Q)dx证明:在定理中,取Y—_+,口=。,则条件(2)后一JAPeJ‘PYoJ血dx,L[Y—]:一a2pezPY—o+Q)dx即R=Y—一Py?一Q,把=k—AAePJ

8、(eP『Y(o2‰Q)+山口’出dx+Y。代人,则有oo冯录祥:关

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