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《数学分析(2)期末试题集(证明题第一部分).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、一、不定积分部分�11.设f�x�具有可微的反函数f�x�。设F�x�是f�x�的一个原函数。试证明�1�1�1�f�x�dx�xf�x��F��f�x����C。证在公式右端对x求导�我们有�1�1d�1�1�1df�x��1df�x��xf�x��F��f�x����C��f�x��x�f��f�x���dxdxdx�1�1�1df�x�df�x��1�f�x��x�x�f�x�.dxdx由不定积分的定义知,结论成立.2.设f�x�定义在�a,b�上�a�c�b�且有F1��x��f�x��a�x�c�;F2��x��f�x��c�x�b�
2、;lim�F1�x��A,lim�F2�x��B�x�cx�c若f�x�在x�c处连续�试证明f�x�在�a,b�上存在原函数。证作函数F�x�如下��F1�x�,a�x�c,�F�x���A,x�c,��F2�x��B�A,c�x�b.则F�x�在x�c处连续�由f�x�在x�c处连续知�limF�x��limF�x��故根据导��x�cx�c函数的特征�即知F��c��f�c�。因而F�x�是f�x�在�a,b�上的原函数。3.试证明下列命题��1��函数方程�设f�x�是���,���上的可微函数�且满足f�x�y��f�x��f�y��
3、2xyx,y����,����2则f�x��x�f��0�x��2�设f�x�在�a,b�上连续�在�a,b�内可微�且f�a��f�b��0。则对���x��C�a,b��有���a,b��使得f���������f����0。证�1�取x�y�0可得f�0��2f�0��f�0��0。将原式改写成为f�x�y��f�x�f�y���2x,y�0,yy可得f�x�y��f�x�f�y��f�0�f��x��lim�lim�2x�2x�f��0��y�0yy�0y由此知2�f��x�dx����2x�f��0���dx�x�f��0��x�C�
4、2即f�x�的一般表达式为f�x��x�f��0��x�C���x��2�因为��x�连续�所以存在原函数�记为��x��则作F�x��e�f�x�。依题设易知�F�x��C�a,b�且在�a,b�可微。又F�a��F�b��0。由洛尔中值定理知�存在���a,b��使得����F�����e��f���������f������0�f���������f����0。???4.设f�x�在���,���上可导�若有�x�y�f�y��f�x�f�����x�y���2�y�x2试证明f�x��ax�bx�c�证以x�y,x�y替换y,x可得�f
5、(x�y)�f(x�y)�f��x��。2y在上式两端对x求导�我们有y��f��x�y��f��x�y������f�x�y��f�x�y����0�再对y求导�我们有f��x�y��f��x�y��y��f���x�y��f���x�y������f��x�y��f��x�y����0�由此可知f���x�y��f���x�y��从而得到f���2x��f���0�,f���x��f���0�。2因此f�x��ax�bx�c����5.设f�x��C����,����且不恒为零。若有22limf�x��0,f�x�f�y��f�x�y��x
6、,y����,�����x��试证明�ⅰ�f�0��1,f�x�是偶函数��ⅱ�求f�x�的表达式。证�ⅰ�设f�x��0�x�0��则0022f�x�f�x0��f�x�x0��f��x�f�x0��f�x��f��x��即f�x�是偶函数。此外�由f�0�f�x��f�x��f�0��1�0022�ⅱ�记r�x�y�则在f�x�f�y��f�r�中对y求导�可知f�x�f��y��f��r�r�。y再对y求导知2f�x�f���y��f���r��ry���f��r��ry���2yx因为r��,r����所以�取y�0�yyy3rrf��
7、x�f��x��f���0�xf�x�,�f���0�x�f�x��2f�0�x��f�0�由此即得f�x��e2。注意到f�x��0�x�����我们有����0���0��22��x最后得f�x��e。二、定积分部分b1�证明:若f在[a,b]上连续非负,且不恒为零,求证�f(x)dx�0.a证设存在x��a,b�使得f�x��0,由连续函数的局部保号性得,存在��0且00f�x�����0Ux;��a,b,对任意的x�U�x;��,有f�x���0.002bx0��x0��f�x0�f(x)dx�f�x�dx�dx�f�x����0.�a
8、�x���x��0002如果x0�a或b,使得f�x0��0,则考虑x0的半邻域,证法类似.b2�证明由积分确定的连续函数零点定理�设f�x�在�a,
