赏析运用斐波那契数列归纳证明的问题.pdf

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1、16中等数学些赏析运用斐波那契数列归纳证明的问题武炳杰(上海市复旦大学附属中学高三(8)班，200433)斐波那契数列是由一个古老的兔子生兔因此，(k，m)=(：f，F⋯)(f∈N)．子问题所引发的，然而，其意义却不仅满足于这里应该注意到斐波那契数列相邻两项求解通项公式，许多问题甚至在题中丝毫不互质的事实(反证法易证)．出现递推关系，它的求解却蕴涵了斐波那契另一方面，容易验证对于所有的Z∈N，数列的思想，这些问题包含了看似普通的数F。=iL都能使数列包含数字1．论甚至组合的问题．』’21+l本文以几道竞赛试题为例，与读者赏析．选择此题的原因在于说明，即使是递归题1求

2、所有的整数对(k，m)，m>k≥数列的试题，若以斐波那契数列为背景，也未0，(m，)=1，使得定义为必一眼就能看出来．题2证明：有无穷多对正整数o、b，满足：l{蠢；0I(b+1)，bI(0。+1)．L1，=1对于此题的讨论可参考文[1]．的数列一定包含数字1．列举题2是为了说明斐波那契数列也可分析：定义斐波那契数列{}：成为数论问题中的背景．ro=Fl=1，+2=Fo+l+(n=0，1，⋯)．分析：从最小的正整数开始枚举，l+1=2，22+1=5，通过对小量数据的枚举，不难发现答案5+1：2×13．13+1：5×34．为(，m)=(F，F2⋯)(Z∈N)．首先，=

3、．发现(1，2)，(2，5)，(5，13)，⋯⋯均满足题意，可以看出所求数为斐波那契数列的相下面运用数学归纳法．邻的奇数项．只需用归纳法证明：若含有数字1，则存在一些，有F2Fb一1F2+3=+1+1．①．l‘式①的证明见文[2]．题3为满足以下递推关系的全部函假设，则数：从{1，2，⋯，}到{1，2，⋯，}，且(1)f(k)≤k+1(k：1，2，⋯，n)；“‰～一一F2Ⅲ‘(2)f(k)≠k(k=2，3，⋯，n)．，’一’求从中随意取出一个函数．厂，使得2+l厂(1)≠1的概率．从而，必有。=≠．(1998，韩国数学竞赛)此题是斐波那契数列在计数问题中的运收稿日期

4、：2OO7—12—132008年第11期17用．通过对n为较小数的枚举，不难发现其不同，本题的立意很新颖．利用斐波那契数列F来归纳求解，完全体现出了数学之美．结果应为，其中，Fi表示斐波那契数列』。H取n个砝码，记第i个砝码的重量为的第项．(1≤≤凡)．下面用数学归纳法证明：首先用归纳法证明：有个元素，且其中有一。个满足对于重(1≤W≤+一1)的物体，可厂(1)=2(而厂(1)≠1)．．以用n个砝码量出其重量．显然，当n=1时，结论成立．当t／,=1时，F3=F2+Fl=2．下面令n≥2，运用构造一一对应的方法于是，F一1=1，=1，显然可以量出．来计数．设对n成立

5、，考虑+1个砝码．如果／∈，f(1)=2，则可以确定一个由归纳假设，用F。，F：，⋯，可量出大函数gE一。．于或等于1、小于或等于+：一1的物体，则若．厂(+1)=1，则g(k)=1，而其他的可以多放入一个重为+。的砝码．而+：≥，f(+1)≠1，于是，g()=(+1)一1．相反地，对于任一个函数g∈一，都唯++1(≥1)，从而，可以称量的范围扩大一地对应一个fC，使得f(1)=2．至0+++2一l=+3—1．所以，／的个数是F的元素总个数．上述结论成立．现在去掉一个砝码F，利用归纳法证由归纳假设知有一个．明：由重量为l，F2，⋯，Fi—l，F⋯，‘：‘，另一方面，

6、可以通过令g(k)=厂(k+1)一1，的砝码可以称量重量为(1≤≤+，一1)知使得／(1)=1，fE的集合元素与满足的物体．g(1)=2，g∈一的集合元素一一对应．那当=2时，么，由归纳假设知，满足f(1)=1，fE的个+1—1=F3—1=Fl+F2—1=1，数有F一个．而Fl=F2=1，随意去掉一个仍可称量．故的元素总个数为一．+一：=，设当n≥2时成立，现考虑n+1个砝F码．其中，使得，(1)≠l的概率为．Jn若去掉的是砝码+，由前面归纳知用由归纳法知，原命题得证．F。，，⋯，可称量重为w(1≤≤+一1)题4(1)是否存在lO个整数克重的砝的物体．码(不同砝码可

7、能有相同重量)，用天平可以若去掉的是砝码(i∈{l，2，⋯，})．量出从1g到88g重的任何物体，甚至少了由归纳假设知F，F：，⋯，一，，+一，任何一个砝码也能做到这一点?(2)是否存在12个整数克重的砝码(不可量出重量为(1≤1／)≤Fn+一1)的物体．现同砝码可能有相同重量)，用天平可以量出从在考虑重量为(1≤≤+：一1)的物体，1g到59g重的任何物体，甚至少了任何两其中，1≤W≤+一1的部分可通过那11,一1个砝码也能做到这一点?个砝码称量．只需考虑+。≤≤Fn+z—l本题是1993年环球城市数学竞赛的一道题，笔者略有改动．与其他的砝码问题有所的部分．先