掇刀石中学 王宏斌.ppt

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1、掇刀石中学王宏斌抛物线(二)问题1:过抛物线   焦点F的一条直线与此抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,试问y1y2是否为定值?x1x2=___.证明:?(1)考察特殊位置(通径),(2)探求一般情形,[分析]得y1y2=-p2xyoA(x1,y1)B(x2,y2)F(,0)p2ABA(x1,y1)B(x2,y2)问题1的推广:设过点E(a,0)(a>0)的一条直线与抛物线相交于两点,则y1y2的定值是_____;x1x2=___-2paa2(1)考察特殊位置(通径),(2)探求一般情形,得y1y2=-2p

2、a[分析]?xyoA(x1,y1)B(x2,y2)E(a,0)AB问题2:过抛物线y=2px(p>0)焦点F的一条直线与它相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,经过点A和抛物线顶点的直线交准线于C点,求证:直线BC平行于抛物线的对称轴.2则直线OA的方程为y=xy1x1证明:设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(-,yC)p2所以:BC平行抛物线对称轴xyA(x1,y1)B(x2,y2)oClF当x=-时,p2x=-p2问题2的逆命题是什么?怎样构造它的逆命题?分析:问题2的条件是:(1)AB经过焦点F;(2)

3、AC经过原点O.BC//x轴若AB经过焦点F,且BC//x轴,则AC经过原点O.结论是:若AC经过原点O,且BC//x轴,则AB经过焦点F.逆命题1:逆命题2:问题2的逆命题是否正确?设抛物线  的焦点为F,经过F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,求证:AC经过原点o.(01年高考题)逆命题1:xyA(x1,y1)B(x2,y2)oClFx=-p2法1:设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(,y2)即kOC=kOA又y1y2=-p2∴AC经过原点OxyA(x1,y1)B(x2,y2)ol

4、FCx=-p2xyA(x1,y1)B(x2,y2)oClF2∴-y1-x1y2=-y1-(-)=0p2py1p2y12p2证法2:OC=(-,y2)p2OA=(x1,y1)y1y2=-p2所以OC//OA所以A、O、C三点共线,即AC经过原点O.又OC与OA共起点O,x=-p2如图,过抛物线x2=4y的对称轴上一点P(0,1)作直线与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.设点P分向量AB所成的比为.求证:无论为何正数,向量QP与向量的夹角总为定值.xBAoyQP【分析】解题思路2,探求一般情形1,考察特殊位置寻

5、求定值问题3:而:QP=(0,2)只需证:QP·(QA-QB)=0【分析】(1)考察特殊位置(通径),定值是:(2)探求一般情形900只需证:y1-y2+(1-)=0;=(x1,y1+1)-(x2,y2+1)=(x1-x2,y1-y2+(1-))即证:QP⊥(QA-QB)而只需证:欲证:夹角总为定值900;即证:又因为x1+x2=0,只需证:x1x2=-4xBAoyQP证明:依题意,可设直线AB的方程为y=kx+1,代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-4=0①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的

6、两根.∴x1x2=-4由点P(0,1)分AB所成的比为,得    即又Q点是P点关于原点的对称点,∴Q(0,-1),从而QP=(0,2)故QP与QA-QB所成角总为定值900=(x1,y1+1)-(x2,y2+1)=(x1-x2,y1-y2+(1-))QP·(QA-QB)=2[y1-y2+(1-)](3)代数推理(严谨、严密)在你找到第一个磨菇时,继续观察,就能发现一堆蘑菇。———波利亚小结提炼:(1)思想方法:从特殊到一般(2)证明方法:向量法课后研究题在平面直角坐标系中,过定点C(0,p)作直线与抛物线相交于A、B两点

7、。(I)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;(II)是否存在垂直于轴的直线被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由。NOACByx谢谢!作业:1、设过点E(a,0)(a>0)的一条直线与抛物线y2=2px(p>0)相交于A、B两点,C是直线x=-a上一点,且BC∥x轴,求证:AC经过原点O.yxA(x1,y1)B(x2,y2)olE(a,0)Cx=-a2、在抛物线y2=2px(p>0)上任取一点B(除去原点),过B点作BC//x轴,C点在抛物线的准线上,连结CO,

8、延长CO交抛物线于A点,求证:AB经过焦点F.yxA(x1,y1)B(x2,y2)olF(-,0)C图1图2p2x=-p22,过抛物线(a>0)焦点的直线与此抛物线交于P、O两点,P、Q被F分成m、n两段,问是否为定值?若为定值,请求出:若不为定值,说明理由.1.抛物线(p>0)的焦点F,AB为过F的弦

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