微积分在证明不等式方面的应用.pdf

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1、2007年第6期牡丹江教育学院学报No16,2007(总第106期)JOURNALOFMUDANJIANGCOLLEGEOFEDUCATIONSerialNo1106微积分在证明不等式方面的应用喻为民(淮南联合大学,安徽淮南232001)[摘要]初等数学中证明不等式的常用方法一般来说比较讲究解题技巧。用微积分证明不等式,有时可大大降低对解题技巧的需要,简化解题过程。[关键词]微分中值定理;函数的单调性;极值判别法;凸函数法;泰勒公式;幂级数;变限积分法[中图分类号]O172[文献标识码]A[文章编

2、号]1009-2323(2007)06-0144-02不等式的证明方法很多。初等数学中的常用方法有诸11+yf′(y)=1-1n(1+y)->0(y>0)如分析法、综合法、比较法、配方法、判别式法、反证法、参数21+y1+y[1]法、数学归纳法、利用已知不等式法、换元法,等等。用21+y乘之,只要证上述方法种类多样,但一般来说比较讲究解题技巧。g(y)=21+y-1n(1+y)-2>0用微积分证明不等式相对于上述方法,有时可大大降低对11解题技巧的需要,简化解题过程。[2]又因g(0)=0,只要证

3、g(y)=->01+y1+y微积分证明不等式,常用的有:微分中值定理、函数的(y>0)单调性、极值判别法、凸函数法、泰勒公式、幂级数、变限积而1+y<1+y(y>0)显然成立,故本题得证。分法,等等。以下对这些方法分别做一些介绍。二、利用函数的单调性证不等式一、利用微分中值定理如果f(x)在开区间(a,b)可导,且f′(x)≥0(或)f′如果函数f(x)同时满足:(x)>0,则在开区间(a,b)内任取x1

4、此可获得不等式。②在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点c,使得

5、a+b

6、

7、a

8、

9、b

10、f(b)-f(a)例3求证≤+f′(c)=(3)1+

11、a+b

12、1+

13、a

14、1+

15、b

16、b-ax1由于定理中的c是介于a与b之间的,即a0x[3]a与b之间的变化可引起(3)式值的变化。x所以f(x)=是增函数,于是由

17、a+b

18、≤

19、a

20、+

21、b

22、例1求证当0

23、a+b

24、

25、a

26、+

27、b

28、2

29、2成立。知:≤1+b1+a1+

30、a+b

31、1+

32、a

33、+

34、b

35、证:函数f(x)=arctgx在[a,b]上满足微分中值定理

36、a

37、

38、b

39、=+的条件,有1+

40、a

41、+

42、b

43、1+

44、a

45、+

46、b

47、b-a≤

48、a

49、+

50、b

51、arctgb-arctga=(arctgx)′

52、x=c(b-a)=1+c2(a

53、a

54、1+

55、b

56、b-ab-ab-a三、利用极值方法证不等式1+b2<1+c2<1+a2若要证明f(x)≥g(x),只要求函数F(x)=f(x)-[3]b-ab-ag(x)的极值,证明F(x)min≥0即可。∴

57、21n2-1为任意常数,求证:x-2ax+10时)成立。x2f(x)=f(a)+f′(c)(x-a)(c∈(a,b))证:问题在于证明f(x)=e-x+2ax-1>0(x>0故当f(a)=0,(a,b)内f′(x)>0时,有f(x)>0(Px时)x∈(a,b])因f(0)=0,所以只要证f′(x)=e-2x+2a>0(x>0[3]时)即可,这种原理在证不等式时也常用。121问题又转化为证明f′(x)min>

58、0即可。例2求证>1n(1+)(x>0)x(1+x)xx令f″(x)=e-2=01得唯一稳定点x=1n2证:令y=,则x>0时,y>0,不等式又写成x当x<1n2时,f″(x)<0y-1+y1n(1+y)>0当x>1n2时,f″(x)>0,因f(0)=0,故只要证所以f′(x)min=f′(1n2)=2-21n2+2a[收稿日期]2007-07-28[作者简介]喻为民(1968-),男,上海人,淮南联合大学讲师,主要从事微积分、线性代数、概率统计学的教学和研究。·144·[3]=2(1-1n2)+

59、2a>0证毕。因f(0)=f′(0)=f″(0)=0234四、利用凸函数法证不等式而fÊ(x)=sin(x)(5secx-1)+bsinxsecx>0若函数f(x)在(a,b)内是严格下(上)凸函数,其充要π故f(x)>0(当x∈(0,)时),原式得证。条件是f″(x)≥0(f″(x)≤0),x∈(a,b)[1]2若函数f(x)在[a,b]上是凸函数,则六、变限积分法证明不等式n在已知不等式两端取在区间[0,x]上的变限积分可获Pxi∈[a,b],λi>0,且∑λi=1时有[3]i