不等式证明的常见方法.pdf

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1、第21卷第4期高等函授学报(自然科学版)Vol.21No.42007年8月


JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)


August2007文章编号:1006-7353(2007)04-0034(11)-05*不等式证明的常见方法郭
煜,张
帆(陕西邮电职业技术学院,咸阳
712000)

摘
要:不等式证明的方法很多,文中重点介绍了十一种常见的证明方法,希望读者能熟练掌握,灵活应用。关键词:不等式证明;方法中图分类号:O122.3

2、




文献标识码:A

证明不等式是高等数学中比较常见的题型,(1-f2(x))(1-g2(x))]dxb-a.也是较难解决的问题.在教学过程中学生掌握的证明
因为f(x)<1,g(x)<1,所以方法有限,从而影响了解题,本文将通过十一种思可令f(x)=sinu,g(x)=sinv,于是路对不等式证明展开讨论,以飨读者。22sinusinv#(1-sinu)(1-sinv)1.判别式法=sinusinv#cosucosv=cosu#v1.例1
设f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续,b22bbb[f(

3、x)g(x)#(1-f(x))(1-g(x))]dx222a试证明(f(x)g(x)dx)f(x)dxg(x)dx(柯aaab22西-许瓦茨不等式).af(x)g(x)#(1-f(x))(1-g(x))dx22b分析
欲证不等式是函数f(x),g(x),以1dx=b-a.及f(x)g(x)的积分不等式,引入参数t,考虑辅a助函数[f(x)-tg(x)]2在区间[a,b]上的积分.3.利用导数定义b例3
设函数f(x)=a1sinx+a2sin2x+∃证明
利用定积分的性质易知[f(x)-a+an

4、sinnx,其中a1,a2,∃,an都为实数,n为正整2tg(x)]dx!0,数,已知对于一切实数x,有f(x)sinx,试bbb即t2g2(x)dx-2tf(x)g(x)dx+f2(x)dx证a1+2a2+∃+nan1.aaa分析
问题中的条件与结论不属于同一类!0.这是关于t的二次多项式不等式,因此,判别式bbb型的函数,如果能找出它们之间的关系,无疑能帮222
=4(af(x)g(x)dx)-4af(x)dxag(x)dx助解决此题,可以看出:a1+2a2+∃+nan=0,f∀(0).于是问

5、题可以转化为证明f∀(0)1.bbb证明
因f∀(x)=a1cosx+2a2cos2x+∃+222即(f(x)g(x)dx)f(x)dxg(x)dx.aaanancosnx.2说明
当积分式含有平方项f(x)或则f∀(0)=a1+2a2+∃+nan.2f∀(x)的情形适用.利用导数的定义得:2.三角函数法f(x)-f(0)f∀(0)=lim例2
设函数f(x)、g(x)在[a、b]可积,且x%0x-0bf(x)f(x)f(x)<1,g(x)<1,试证[f(x)g(x)#=lim=lim.ax%0xx%

6、0x*收稿日期:2007-05-0834第21卷第4期高等函授学报(自然科学版)Vol.21No.42007年8月


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August2007由于f(x)sinx.所以f∀(0)证明方法:sinx∋构造两个辅助函数f(x)和g(x),并确定lim=1.x%0x它们适用柯西中值定理的区间[a,b];即a1+2a2+∃+nan1.(对f(x)与g(x)在[a,b]上施用柯西中值说明
用导数定义证明不等

7、式,此方法适用定理;范围不广,解题时应仔细观察问题中的条件与结)利用与a,b的关系,对柯西不等式进行论之间的关系.有些不等式符合导数的定义,因此加强.可利用导数的定义将其形式转化,以达到化繁为例5
设a>e,0(cosx-cosy)alna.yx拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和a-a分析
原不等式可等价于

8、st在区间[x,y]上的改变量的商,故可当x>0,