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1、第4卷第2期贵阳学院学报(自然科学版)(季刊)Vo.l4No.2JOURNALOFGUIYANGCOLLEGE2009年6月NaturalSciences(Quarterly)Jun.2009*用凸函数性质证明一类数列不等式李清杨(贵阳护理职业学院理科教研室,贵州贵阳550003)摘要:利用连续凸函数在等分点上函数值的性质,证明了一类含有递增差数列的奇项和与偶项和相比的不等式,以及连续凸函数在闭区间的等分点上之函数值构成了一个增差数列。关键词:凸函数;差分;递增差函数中图分类号:O174文献标识码:A文章编号
2、:1673-6125(2009)02-0013-02UsingConvexFunctionNaturetoProveaTypeofSequenceInequalityLIQingyang(ScienceStaffRoomofGuiyangNursingVocationalCollege,GuiyangGuizhou550003,China)Abstract:Basedonthenatureofcontinuingconvexfunctioninequaldiversionpoint,aninequalityisprovedwhi
3、chcontainstheodditemandtheevenitemsumsaofincreasingdifferencesequence,andthefunctionvalue,whichisobtainedthroughtheclosedintervalofthecontinuingconvexfunctionattheequaldiversionpoint,formsaincreasingdifferencesequence.Keywords:convexfunction;difference;increasingdiff
4、erencefunction设f(x)是定义在开区间(a,b)内的连续函a3-a2∀an-an-1∀(1)数,若对(a,b)内任意两点x1,x2(x1x2)都有则这个数列就称为递增差数列,显然条件(1)x1+x21等价于ak+ak+2!2ak+1k=1,2,∀。f()f(x1+x2),则f(x)就称为区间22现引进新记号ak=ak-ak-1k=2,3,∀,(a,b)内的凸函数。ak称为差分,由递增差数列的定义可知;数列凸函数有许多有趣而重要的性质,它同不等式an是递增差数列的充分必要条件是它的差分组有着极其密切的
5、关系,很多著名的不等式可以应用成的数列a是递增数列。n凸函数的性质来证明,这个判定方法那就是设f递增差数列有一些特定性质,引入的定理就是(x)在开区间(a,b)内具有二阶导数f"(x),且一个f"(x)!0,则f(x)是凸函数,一般微积分学里都定理1:若数列an是递增差数列,则可查阅,不再予证明。现在,我们给出一个递增差a1+a3+∀+a2n+1n+1数列的定义。!n=1,2,∀∀∀(2)a2+a4+∀+a2nn若实数列an:a1,a2,∀,an,满足条件a2-a1等号成立时a是等差数列。n*收稿日期:2009-01-06作者简
6、介:李清杨(1957-)男,贵州贵阳人,贵阳护理职业学院理科教研室副教授。#13#证明:将不等式(2)改写成证明:f(x)在,内是凸函数列,则f"(x)na1+a3+∀+a2n+1!(n+1)!0f(`x)在,内增函数,由中值定理,作差分a2+a4+∀+a2nf(xk)=f(xk)-f(xk-1)=f('!k)(xk-xk-1),k=归纳法,当n=1a1+a3!2a2因an是递2,3,∀,!k∃(xk-1,xk),f(xk)是递增函数列。增差数列,成立由凸函数的判定方法可以构造出无穷多个凸设n=k时不等式ka1+a3+∀
7、a2k+1!(k+函数,与此相联系,又定理也可以构造无穷多个递1)a也成立增差数列。同时也可构造出无穷多个不等式。2+a4+∀a2k欲证n=k+1时成立1111例子;求证++∀+>n+1132n+1即证(k+1)a1+a3+∀a2k+1+a2k+3!(k1111+2)a2+a4+∀a2k+a2k+2n++∀+242n与n=k不等式比较后,故问题转化为求证不-12-3证明:令f(x)=x则f(x)=2x>0,等式-1(x>0),故x在(0,+%)上是凸函数。现用a1+a3+∀a2k+1+(k+1)a2k+3!!k点x0=1,x1=2
8、,∀x2n=2n+1将区间[1,2n+a-12+a4+∀a2k+(k+2)a2k+21]分作2n等分,于是f(x0)=1f(x1)=整理变形得:2-1∀f(2n)=(2n+1)-1(k+1)a2k+3-a2k+2!a2-a1+显然是一个递增数列,由
