一些不等式赛题的证明方法下.pdf

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1、12中等数学一些不等式赛题的证明方法(下)蔡玉书(江苏省苏州市第一中学,215006)n(n-1)4 契比雪夫不等式的运用数,每组个.2契比雪夫不等式 设a1,a2,⋯,an和x2,x3,x3,x4,x4,x4,⋯,b1,b2,⋯,bn是两组同序的实数.则xn-1,⋯,xn-1,xn,⋯,xn.n-2个n-1个a1b1+a2b2+⋯+anbnx1+x2x1+x2x1+x2+x31x1,,,,≥(a1+a2+⋯+an)(b1+b2+⋯+bn).223nx1+x2+x3x1+x2+x3反序时不等式也反号.,,⋯,

2、33例10设n≥3(n∈N),并设x1,x2,⋯,x1+x2+⋯+xn-2x1+x2+⋯+xn-2,⋯,,xn是一列实数,且满足xi∑i∑j.i

3、-2)x2+⋯+2xn-2+xn-1]  收稿日期:2006-11-14 修回日期:2007-01-03nS→2,令t→+∞,得S→1,且当a=b=c=的正数λ,使得对满足t1t2⋯·tn=2的任意m时,S=3.正实数t1,t2,⋯,tn,都有1+m111++⋯+≤λ.由于S是关于a、b、c的连续函数,结合1+t11+t21+tn引理2、3及前所证可得本命题结果.一方面,取t1=t2=⋯=tn-1=t,tn=注:命题的证法是所谓分步求极值,即将n2+多元极值问题分解为若干步,每一步均为一n-1.令t→0,得t

4、元极值问题,这是解决一类多元极值问题的111有效方法.实际上,引理1即为命题在二元的++⋯+→n-1.1+t11+t21+tn情形.另一方面,不妨设t1≥t2≥⋯≥tn,则8bc8ca8ab在题1中,令x=2,y=2,z=2,abct1t2t3≥8.在命题中取m≥2,则有3则xyz=8,即m=8的情形.111++<2.222bca1+t11+t21+t3在题2中,令x=2,y=2,z=2,则abc111故++⋯+xyz=1,即m=1的情形.1+t11+t21+tn题3即引理2.<2+1×(n-3)=n-1.2

5、在题4中,令ti=tanθi,等价于求最小所以,最小的正数λ=n-1.2007年第8期132=(x2+x3+x3+x4+x4+x4+⋯+cz(a+b)(x+y)xn-1+⋯+xn-1+xn+⋯+xn)·n-2个n-1个12=B.x1+x2x1+x2x1+x2+x33(x1++++223又a≥b≥c>0,x≥y≥z>0,则x1+x2+x3x1+x2+x3abc++⋯+≥≥,33b+cc+aa+bx1+x2+⋯+xn-2x1+x2+⋯+xn-2xyz+⋯++≥≥.n-2n-2y+zz+xx+yn-2个由契比雪夫不

6、等式得x1+x2+⋯+xn-1x1+x2+⋯+xn-1+⋯+)1abcxyzn-1n-1B≥++++.3b+cc+aa+by+zz+xx+yn-1个<[x1x2+(x1+x2)x3+又[(b+c)+(c+a)+(a+b)]·(x1+x2+x3)x4+⋯+1+1+1≥9,b+cc+aa+bn(n-1)(x1+x2+⋯+xn-1)xn]a+b+ca+b+ca+b+c92即++≥,b+cc+aa+b2n(n-1)=xixj,abc32i∑∑(n-

7、i)xi∑(j-1)xj.同理,x+y+z≥3.2i∑0,x≥y≥z>0.证明:所以,原不等式得证.2222axby++(by+cz)(bz+cy)(cz+ax)(cx+az)5 用一次函数逼近实现转化22cz≥3例12 设a、b、c是正实数.求证:.(ax+by)(ay+bx)4222(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)3(2000,韩国数学奥林匹克)22+22+22≥.a+(b+c)b+(c+a)c+(a+b)5证明:由二元均值不等式得(199

8、7,日本数学奥林匹克)(by+cz)(bz+cy)a2证明:将a、b、c分别换成、(by+cz)+(bz+cy)≤a+b+c222bc(b+c)(y+z)、,原不等式不变,于是,不=.a+b+ca+b+c4妨假设0

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