浅谈不等式证明的基本方法.pdf

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1、第8卷第6期读与写杂志2011年6月Vol.8No.6ReadandWritePeriodicalJune2011浅谈不等式证明的基本方法杨香红（陕西省榆林市榆林林业学校陕西榆林719000）摘要：本文旨在讲述不等式证明的基本方法，及不等式证明方法的灵活运用，从而提高学生分析问题的能力和逻辑推理的能力。关键词：不等式证明基本方法灵活运用能力中图分类号：G718文献标识码：C文章编号：1672-1578（2011)06-0175-02不等式证明方法包括比较法、综合法、分析法、反证法、数学ɑ+b⑶≥姨ɑb（ɑ＞0，b＞0，当且仅当ɑ=b时取等

2、号）；归纳法等。但高考考查的重点是前三种方法，故应熟练掌握用比2较法、综合法、分析法证明不等式，能够根据所给题的题设和结⑷b+ɑ≥2（ɑb＞0）；ɑb论灵活的选择方法，从而提高学生分析问题的能力、理性思维的能力和逻辑推理的能力例2：已知ɑ2+b2+c2＝1，求证：-1≤ɑb+bc+ɑc≤1。21比较法【证明】比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分2∵（ɑ+b+c）≥0为作差法、作商法。∴ɑ2+b2+c2+2ɑb+2bc+2ɑc≥0（1）作差比较法：理论依据是：ɑ＞b圳ɑ-b＞0；ɑ＜b圳ɑ-b＜0；∵ɑ2+b2+c2＝1ɑ=

3、b圳ɑ-b=0。证明步骤：作差———变形（因式分解、配方等）———1∴ɑb+bc+ɑc≥-,判断符号（将结果与0比较大小）。2（2）作商比较法：理论依据是：若ɑ，b均大于0，则ɑ＞1∵ɑb≤1（ɑ2+b2），bc≤1（b2+c2），ɑc≤1（ɑ2+c2），b222ɑ＞b；ɑb＜1圳ɑ＜b；ɑ=1圳ɑ=b。证明步骤：作商———变形（积幂运当ɑ＝b＝c时三个等号同时成立，b∴ɑb+bc+ɑc≤ɑ2+b2+c2≤1，算等）———将商值与1比较大小。1例1：已知ɑ＜b＜c，求证：ɑ2b+b2c+c2ɑ＜ɑb2+bc2+cɑ2故-≤ɑb+bc+ɑc

4、≤1。2分析：用比较法中作差比较法证明.3分析法【证明】∵ɑ＜b＜c，从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，∴ɑ－b＜0，b－c＜0，ɑ－c＜0，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果于是：ɑ2b+b2c+cɑ2－（ɑb2+bc2+cɑ2）＝（ɑ2b－cɑ2）+（b2c－ɑb2）+能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以判定原不等式成（cɑ2－bc2）立，这种证明方法叫做分析。＝ɑ2（b－c）+b2（c－ɑ）+c2（ɑ－b）若“ɑ则B”的证题步骤：＝ɑ2（b－c）+b2+c2（ɑ－b）欲证命题B成立，＝ɑ2（

5、b－c）－b2（b－c）+c2（ɑ－b）－b2（ɑ－b）只需证命题B1成立，···＝（b－c）（ɑ2－b2）+（ɑ－b）（c2－b2）只需证命题B2成立，···＝（b－c）（ɑ－b）······＝（b－c）（ɑ－b）（ɑ－c）＜0只需证命题ɑ成立.∴ɑ2b+b2c+cɑ2＜ɑb2+bc2+cɑ2今已知ɑ成立，故B必成立.或者使用逆推符号“坩”简洁地例2：已知ɑ＞0，b＞0，试比较ɑbbɑ与ɑɑbb的大小。写成：B坩B1坩B2坩···坩Bn坩ɑ。∵ɑ＞0，b＞0分析法实质“执果索因”，即由结论出发，步步寻求结论成立∴ɑb，bɑ，ɑɑ，bb均

6、大于0。的充分条件。ɑɑbb/ɑbbɑ=ɑɑ-bbb-ɑ=ɑɑ-bb-（ɑ-b）=-b（ɑb）ɑ+11例3：已知ɑ、b∈R，且ɑ+b＝1，求证：ɑ+＋b+≤2当ɑ＞b＞0时，ɑb＞1，ɑ－b＞0，故（ɑb）ɑ-b＞1bɑɑb；姨2姨2，此时ɑb＜ɑb当ɑ＝b≠0时，显然ɑbbɑ＝ɑɑbb；111【证明】欲证原不等式，只需证ɑ+b++2ɑ+·当b＞ɑ＞0时，0＜ɑb＜1，ɑ－b＜0，故（ɑb）ɑ-b＞1，此时ɑbbɑ＜ɑɑbb；22姨2综上所述，对于任意ɑ＞0，b＞0，总有ɑbbɑ≤ɑɑbb.1b+≤4姨22综合法11从已经证明的重要不等式

7、和已知条件出发，运用不等式的圳ɑ+b+≤1姨2姨2性质，逐步推演，推导出要求证的不等式，这种证明方法叫综合11圳（ɑ+b）+ɑb+≤1法。24综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明1圳ɑb≤，的不等式成立，其逻辑关系是：ɑ圳B1圳B2圳···圳Bn圳B4(已知)（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）由题设知ɑb≤（ɑ+b2）2＝1。4在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的运用。以上过程可逆，所以原不等式成立。常用的基本不等式有：⑴

8、ɑ

9、≥022例4：（2008浙江高考真题）已知ɑ≥0，b≥0，且ɑ+b=2，则：，ɑ

10、≥0，（ɑ±b）≥0（ɑ、b∈R）⑵ɑ2+b2≥2ɑb（下转193页）（ɑ、b∈R，当且仅当ɑ=b时取等号）；-175-第8卷第6期读与写杂志2011年6月Vol.8No.6ReadandWr