代数基本定理的证明方法[1].pdf

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1、第19卷第2期德州学院学报Vol.19,No.22003年4月JournalofDezhouUniversityApr.2003文章编号:1004-9444(2003)02-0010-06代数基本定理的证明方法翁东东(泉州师范学院数学系,福建泉州36200)摘要:对代数基本定理的证明,进行了多种方法的分析,运用初等方法、Cauchy积分定理和Brouwer不动点定理,给出另外3种方法进行论证.关键词:代数基本定理;初等方法;Cauchy积分;多项式;Brouwer中图分类号:O15文献标识码:A1引言对代数基本定理的证明,一般采用Lio

2、uville定理、Rouche定理按文献[1][2][4]进行证明.本文用初等方法证明了代数基本定理,说明可不用复变函数理论中的有关概念和定理证明.而用Cauchy积分定理证明代数基本定理,是从复积分工具的角度去论证,是一种新的证法.代数基本定理任何次数n!1的复系数多项式nn-1f(z)=a0z+a1z+∀an-1z+an(a0#0)在复数域中至少有一个根.mm+1m+n引理1设f(z)=b0z+b1z+∀+bnz是复数域上多项式,b0#0,m
0,令b=b0,bg=max{b1,b2,∀,bn},则当

3、z

4、<时,有b+gm+1m+nnb1z+∀+

5、bnz

6、b0z

7、.证明(数学归纳法)nnn当m=0时,b1z+∀+bnzb1z+∀+bnzg(z+∀+z)bbnzb+g当

8、z

9、<时,b1z+∀+bnz

10、z

11、b1-b+g因此m=0时命题成立.b设m=k时成立,即当

12、z

13、<时,有b+gk+1k+nkb1z+∀+bnzb0

14、z

15、k+1+1k+1+nk+1k+n当m=k+1时,b1z+∀+bnz=

16、z

17、b1z+∀+bnz收稿日期:2002-12-11;修回日期:2003-03-05作者简介:翁东东(1959
),男,福建莆田人,学士,泉州师范学院数学系讲师,主要从事代数与特殊类

18、矩阵方面的研究.第2期翁东东:代数基本定理的证明方法11kk+1b<

19、z

20、b0

21、z

22、=b0

23、z

24、(

25、z

26、<)b+g由数学归纳法,命题得证.mm+1m+n引理2设f(z)=1+b0z+b1z+∀+bnz是复数域上多项式,b0#0,m1,则必存在z0,使f(z0)p<1.证明设z=p(cos
+isin
),b0=bo(cos+isin).取a0,使ma0+=,g=max{b1,b2,∀,bn}.1b由引理1,取!0

27、b

28、+g,则b0mf(z)

29、o!0<1令z0=!0(cos
0+isin
0)mmmb0z0=bo!0
cos(+m
0)+isin(+m
0)=-bo!0则mm+1m+nf(zo)=1-b0!0+b1z0+∀+bnz0(1)mm+1m+n由(1)式易得f(z0)1-bo!0+b1!0+∀+bn!0故f(zo)<1n-1推论设f(z)=a0z)∃n+a1z+∀+an是复数域C上多项式,a0#0,n1,f(z0)#0,z0%C,则存在z%C,使得f(z)

30、0+h,由泰勒公式(n)f(z0)nf(z0+h)=f(z0)+f∋(z0)h+∀+hn!(n)而f(z)=n!a0#0.(n)所以f∋(z0),f((z0),∀,f(z0)不全为零.(m)设第一个不为零的是f(z0),(1mn)则(m)(n)f(z0)mf(z0)nf(z0+h)=f(z0)+h+∀+hm!n!(m)m(n)f(z0+h)f(z0)hf(z0)n因而=1+)+∀+hf(z0)f(z0)m!f(z0)f(z0+h)上式是关于h的多项式,由引理2,选取h,使<1,即f(z0)f(z)

31、+∀+an(a0#0)是复数域上多项式,任给G>0,则存在R>0,当z>R时,有f(z)>G.12德州学院学报(自然科学版)第19卷2(a1+∀+an证明当z>1,且z时,a0na11an1na11f(z)a0z1--∀-n>a0z1--∀-a2za0za2zan1na1+∀+ana0n=a0z1-za0za0z212Gn2a0+∀+an取R=max,1,a0a0则当z>R时,有f(z)>G.现证代数基本定理.nn-1证明设f(z)=a0z+a1z+∀+an,a0#0,n1.(1)任取复数z∋,

32、使f(z∋)#0,(若取不到z∋,则结论已成立).(