用导数证明不等式.pdf

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1、第).卷第)期商洛师范专科学校学报J=)&).K=&)"$$-年,月<=>?8@9=ABC@8D9>=EF@GCF?HI=99FDFL@?&"$$-用导数证明不等式赵朋军（商洛师范专科学校数学系，陕西商洛!"#$$$）摘要：利用高等数学典型题精解中的一个例题的推广来证明几个常见不等式%通过这一方法%可以比较简洁、快速地解决一些不等式的证明问题%而且能充分体现数学美的原则&关键词：不等式’连续’可导中图分类号：!"#"$%#文献标识码：(文章编号：)$$*+,$,$（"$$-）$)+$$.#+$,!定理及证明在高等数学典型题精解中有这样一道例题0（)1)../年数学四考研题）%通过它就可

2、以得到下面的定理&定理!设函数!2"3在0#%45）上连续%在（#%45）内可导%且!2#36$&若!72"3在（#%45）上单调增加（或单!2"3调减少）%则!（"）6在（#%45）上单调增加2或单调减少3&"$#证明设!72"3在（#%45）上单调增加&!72"32"$#3+!2"3)!2"3!（7"）660!72"3+12"$#3""$#"$#由拉格朗日中值定理知存在"!（#%"）&!2"3!2"3+!2#3使得66!72"3&由于!72"3在（#%45）上单调增加%对于任意"&#和#’"’"有!72"3&!（7"）%从而"$#"$#!（("3&$&于是!（"3在（#%45）上单

3、调增加&对于!72"3在（#%45）上单调减少的情形亦可类似地证明&"应用下面我们利用定理的结论来证明一些常见的不等式&"""#!0"1当"&$时%"+’)82)4"3’"""")证明令!2"364)82)4"3%则!2"3在0$%453上连续%在2$%453内可导%且!2$36$&又!72"36")%"))""")""!772"36&$%所以!72"3在2$%453上单调增加&2)4"3"""""""4)82)4"34)82)4"34)82)4"3"""于是!2"36在2$%453上单调增加&又因9:;6)%所以&)’同理令"""$4"")*2"36)82)4"3%则*(2"36在2

4、$%453上单调减少&又*2"3在0$%453上连续%在2$%453内可导%且*2$36$&)4")82)4"3)82)4"3)82)4"3于是!2"36在2$%453上单调减少&又因9:;6)%所以’)&"""$4""""即"+’)82)4"3’"&"收稿日期："$$-+$)+$/作者简介：赵朋军（"&’&(），男，陕西渭南人，商洛师范专科学校数学系助教第%期赵朋军：用导数证明不等式=>!$!$!"!*+,当!"!时"!##%&’%(!)#!#$$’%(!)!$!$证明由$-%知"当!"!时"!##%&’%(!)"只需证%&’%(!)#!#即可-$$’%(!)!$$%1!%!$令$’

5、!).%&’%(!)("则$’!)在*!"(/)上连续"在’!"(/)内可导"且$’!).!-又$0’!)."$’%(!)$’%(!)$&!$00’!).#!"所以$0’!)在’!"(/)上单调减少-’%(!)+!$!$%&’%(!)(%&’%(!)($（%%!）$（%%!）于是!’!).在’!"(/)上单调减少-又因234.%"!!!!(!!$%&’%(!)($$$（%%!）!!所以#%-即!##%&’%(!)#!#-!$$（%(!)#定理的推广定理!设$’!)在’#/"’,上连续"在’#/"’)内可导"且$’’).!-若$0’!)在’#/"’)上单调增加（或单调减$’!)少）"则!

6、’!).在’#/"’)上单调增加（或单调减少）-!&’将区间’#/"’,换成’()’,或*()’,结论也成立-定理#设函数$’!)在*()’,上连续，在’()’)内可导，且$’().!，若$0’!)在’()’)上单调增加（或单调减$’!)少），则!’!).在’()’)上单调增加（或单调减少）-!&(将区间*()’,换成*()’)结论也成立-证明方法同定理%"下面我们利用定理的推广来证明一些常见的不等式-#"$当!5!5"时"$563&!5%*$,$"!"""证明令$’!).63&!"则$0’!).786!在’!")上单调减少-又$’!)在*!",上连续"在’!")内可导"且$’!).!

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