若干解析不等式的统一证明——兼谈几个不等式的加强.pdf

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1、第23卷第3期湖南理工学院学报(自然科学版)VbI．23NO．32010年9月JournalofHunanInstituteofScienceandTechnology(NaturalSciences)Sep．2010若干解析不等式的统一证明——兼谈几个不等式的加强邵志华(浙江广播电视大学平湖学院，浙江平湖314200)摘要：对[1】中提出的若干不等式问题统一利用最值压缩定理给出了证明，并给出了其中四个不等式的加强关键词：解析不等式；最值压缩定理；平均；证明；加强中图分类号：O178文献标iP,r,-5

2、：A文章编号：1672．5298(2010)03．0009．05ProofofSomeAnalyticInequalities——andStrengtheningofSomeInequalitiesSHAOZhi—hua(PinghuCollege，ZhejiangRadio&TVUniversity,Pinghu314200，China)Abstract：Bythecompressedindependentvariablestheorem，thispapergivestheproofofeighteq

3、uationsinf1】uniformly．Andthestrengtheningoffourinequalitieshavebeengiven．Keywords：analyticinequalities；compressedindependentvariablestheorem；arithmeticmean；proof；strengthening，2006年，VasilcCirtoaje主编(AlgebraicInequalities．oldandNewMethods))的出版⋯，引起了国内外一些数学

4、论坛的热议．其第1章和第8章共提出140多个不等式问题，成为我国一些数学论坛热论的话题．本文将统一用最值压缩定理给出⋯中若干不等式的证明，并给出其中四个不等式的加强或推广．．『．_设，2∈≥2(，⋯，)eR",A∽为口的算术平均；对∈[o，扣G(口)珥为a的几何平均；并记)=((口)，(口)，⋯，A))∈，)=(G)，G(口)，⋯，G))∈[0，+oo)．所谓的最值压缩定理主要指以下三个引理，其证明可见[2】或【3】．引理1设D(”)是有内点的对称凸集，f：D连续且存在连续偏导数，对于i=l，2，⋯，，

5、记={∈DIxi=x{))一{∈DI：X2=⋯=Xn}，：讧∈DJ=in{))一∈Dlxl：=⋯=)．若≠f时，不等式蔷>(<)誓在n上恒成立，则对于任意的口∈D，都有厂(口)≥(<)())．等式成立当且仅当a．=a2=⋯=an．引理2设区间J(O，扣)，f：J”为连续的对称函数，且存在连续偏导数．记=∈l))，=∈”J))，：n一{xlx,⋯)·若不等式熹>(<)要在上恒成立，则对于任意的口∈J”，都有厂)≥(<)厂())．等式成立当且仅当口l==⋯=an．，引理3设0≤m

6、，，，M)，f：(m，)”_÷为对称函数，且有连续偏导数．若不等aI蔷>(<)li2芒在(意义同引理2，下同)上恒成立，则对于任意的aEJ，都有收稿日期：2010．06．25作者简介：邵志华(1962-)，男，浙江平湖人，浙江广播电视大学平湖学院讲师．主要研究方向：解析不等式，数学教育湖南理lT学院学报(自然科学版)第23卷f(a)≥(≤)厂(G(口))1四个不等式的加强或推广[1]中第1章的第3题，第8章第37、80、9l题(亦即[4]中第9章第1节第3题，第2节第19、62、73题分别为：1)设a，

7、b，C≥0，abc：1，则2)设l，2，⋯，口>o，n=l，则鼻+an⋯2(2)3)设a，b，c>0，abc=1，则a+6+c+9(ab++bc)≥lO(a+6+c)．4)设，x29t*~9Xn≥0，则≥n(4)=lYk=l+√Y一七：l《·定理1设口，b，C≥0，则旦±≥s-kak．其中后(>2．19)为满足不等式量善(f—1)(，+2)>后(一f)对任何，∈【1，+oo)都成立的常数．证明设p>l，：(口，6，c)∈+半一51￡，‘，，(5-3k)e．——+—bk+一ck，则，a厂vj嵩㈥【p(警一

8、警)(ak+6k+Ck)一庀一】一(5-k)p15((口6c)·)}3当(口，b，c)∈N(0，扣)。，Epa>~c>-b，且>6时，iet—a6>l，我们有=生15((abc)·口k+b+ck5-k誓一甏)≥p(一警)(ak+2b七(ak-I_>6c)(一)(+2b)一尼(～一bk-!)=去·b川()(+2)一kt(t一1)】>o．由引理2，x~-Y(口，b，c)．∈(0，)，都有／(口，b，c)≥／(芈，半，芈)，即芈一——(5-k)p