二二二 解解解答答答题题题和和和证证证明明明题题题,,.pdf

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1、PekingUniv.Math00130201Spring2009所有的答案要写在答题纸上。共11小题,满分100分.姓名：学号：系：一一一填填填空空空题题题，，，只只只要要要给给给出出出答答答案案案，，，不不不要要要给给给出出出解解解题题题过过过程程程(x+1)1/5−11.[6分]limx−>0ln(1+x2)+sinx=.2.[12分]设函数y=f(x)由参数方程x=2t−t2,3,y=3t−t给出,则y′(x)=,y′′(x)=.Rπ3.[6分]2(sin7x+cos7x)dx=。−π2

2、R4.[6分]求不定积分xarctanxdx=.(1+x2)3/2R√5.[6分]816x−x2dx=.0Rπ6.[6分]2xsin2(2x)dx=.0dRarctanxt7.[6分]ln(1+e)dt=.dx0x=cos3θ,8.[18分]闭合曲线3,θ∈[0,2π](如图1）的长度是,所围面积是,将此曲线y=sinθ,绕x轴旋转一周得到的立体的侧面积是.9.[4分]图1所示曲线绕x轴旋转一周所得立体的体积是.二二二解解解答答答题题题和和和证证证明明明题题题，，，要要要求求求写写写出出出解解解

3、题题题或或或证证证明明明过过过程程程1.[10分]利用定积分的相关知识求极限111lim++···+.n→+∞n+1n+2n+n2.(a)[10分]设函数φ(x)在[0,+∞)上连续且严格单调递增。又设当x→+∞时φ(x)→+∞,且φ(0)=0。证明：对任意实数a>0,B>0,下列不等式成立：ZZaBaB≤φ(x)dx+φ−1(y)dy,00其中φ−1(y)是φ(x)的反函数。(b)[10分]利用(a)中的不等式，对任意的实数a>0,b>0,p≥1,q≥1且1+1=1,证明闵pq科夫斯基不等式

4、:apbqab≤+.pqPage1of2Pleasegotothenextpage...Spring200910.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图1:参数曲线x=cos3θ,y=sin3θ,θ∈[0,2π]的图像三三三积积积分分分公公公式式式表表表Rtanxdx=−ln

5、cosx

6、+C;(1)R1dx=ln

7、tanx

8、+C;(2)Rsinx21dx=1arctanx+C;(3)x2+a2aaR11x−ax2

9、−a2dx=2alnx+a+C;(4)R√1dx=arcsinx+C;(5)a2−x2aR√√1dx=ln

10、x+x2±a2

11、+C;(6)x2±a2Page2of2EndofExam