一个无理不等式猜想的证明及推广.pdf

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1、24福建中学数学2011年第1期圆锥曲线与切线有关的一个统一性质彭世金湖南省常德市第六中学（415003）笔者通过探究，得到圆锥曲线与切线有关的一>0)，点A是双曲线的一个顶点，S是双曲线上异于个性质．A的任一点，双曲线在S处的切线交x轴于点R，22xyOS交双曲线在顶点A处的切线于点B，则SABR//．性质1如图1，已知椭圆+=>>1(ab0)，22abyy点A是椭圆在x轴上的yBSS一个顶点，S是椭圆上BSAORxRAx异于A的任一点，椭圆B在S处的切线交x轴于ROAx点R，OS交椭圆在顶图2图3点A处的切线于点B，性质2类似于性质1可证，此处从略．图12则SABR//．性质3

2、如图3已知抛物线yp=>2(0xp)，点A证明不妨设Aa(0，)，点S的坐标为Sxy()，，是抛物线的顶点，S是抛物线上异于A的任一点，00xxyy抛物线在S处的切线交x轴于点R，过S且与对称轴00则x≠a．椭圆在点S处的切线方程为+=1，022ab平行的直线交抛物线在顶点A处的切线于点B，则2a它与x轴的交点的坐标为R(0，)．SABR//．x0证明设点S的坐标为Sxy()，，则x≠0．抛000椭圆在顶点Aa(0，)处的切线方程为x=a，又直物线在点S处的切线方程为yypxx=+()，它与x00y0线OS的方程为yx=，于是点B的坐标为轴的交点的坐标为Rx(0−，)．0x0抛物线

3、在点A处的切线方程为x=0，直线SB的ayy00Ba()，．故SA的斜率k=，BR的斜率SA方程为yy=，于是点B的坐标为By(0，)．故SA的x0x0−a002yyy−0ayay00000斜率k=，BR的斜率k==．ka=−/()=．SABRBRx0()−−xxxxxa−000000于是有kk=，∴SABR//．于是有kk=，∴SABR//．SABRSABR22xy性质2如图2，已知双曲线−=>1(ab0，22ab一个无理不等式猜想的证明及推广田富德福建省大田第一中学（366100）文[1]给出了几个无理不等式的猜想，笔者在此且仅当xy−xy=0且xx≤0时不等式等号成立．122

4、112给出文[1]猜想2的证明及其推广．根据两点间的距离公式及三角形的边长关系容普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5《不易证明三角不等式成立．等式选讲》有如下三角不等式：用−x替换x，−y替换y可得如下：2222222222命题1x+++≥−+−yxyx()xy()y，当112212122011年第1期福建中学数学25222222111x11+++≥+++yxyx22()12xy()12y，当=()++++"21．xxx且仅当xy−=xy0且xx≥0时不等式等号成立．12n122112琴生不等式从而由①得nn11112212设fx′′()0>，则∑∑f()(xfxii≥)，++

5、++++x23xx"1nnii==11xx12xnnn1即∑∑f()xnii≥f(x)．≥++()11"++121ii==11nxxx12nm命题2若f()xx=2(02xm>≥，或m<0)，则21≥+()1nn=nn+．2fx′′()0>．nm猜想的推广若xx，，，"x∈R，且x+xmm−212n+12证明易求f′′()xx=−(1)2，由m≥2或22+"+=x1，其中pq，，，∈−∞(0)∪[2)+∞，则nm<0，知fx′′()0>．pqpqpqpq22−−xxxx++++++≥"xxnn+.1223n1文［1］猜想2若xx，，，"x∈R，且x+x12n+12证明由命题2结合琴

6、生不等式可得++="xn1，则pppppxx+++"x1−22212n22x+++≥xx"n()=n…②112212112nn++++++≥+xx"xnn．2312xxxnqqqq12n1−同理可得x22+++≥xx"22n…③12n证明∵"xx，，，x∈R，12n+由连续运用命题1可得111∴+++"pqpqpqx++++++xxx"xxxxx1223n112npqpq1122222222=()()()()xxxx++++"≥=nnn．1223xxx""nxxx12nn12pq2222++()()xxxx+++"x1n1n12n∵"xxx≤=，12nnnppqqpq2222222

7、222≥+++++()xx()xx(x)(x)111122334∴+++"pqx12xxn++"()()xx2222+n11pppqqqq≥≥nnn…①222222222nxx"x≥≥""()xx12+++xnn+++++(xx23"xx1)．12n从而由②③可得由连续运用命题1可得pqpqpqx++++++xxx"xx1122121223n1++++++xxx"231xxxpppqqqq12n222222222≥()xx+++""x+++++(xxxx)12nn23