高中数学教学论文 柯西不等式的证明与应用.pdf

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1、柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。关键词：柯西不等式，证明，应用Summary：Cauchy'sinequalityisaveryimportantinequality,thisarticleusesixdifferentmethodstoprovetheCauchyinequality,andgivessomeCauchyinequalityinine

2、quality,solvingthemostvalue,solvingequations,trigonometryandgeometryproblemsintheareasofapplication,thelastuseditprovedthatpointtothestraightlinedistanceformula,betterexplainstheCauchyinequality.Keywords：Cauchyinequality,proofapplication不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明

3、方法及其在初等数学解体中的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。用心爱心专心1一、相关定理柯西不等式是指下面的定理nn22n定理设则2abRiii,(1,2,...,),n()abii()ai(bi)ii11i1当数组a1，a2，…，an,b1，b2，…，bn不全为0时，等号成立当且仅当bai(1n).ii柯西不等式有两个很好的变式：na2()a2变式1设iiaRbi,ii0(1,2,...,),n,

4、i1bbii等号成立当且仅当bain(1)iina()a2变式2设aiii,bi同号且不为0（i=1，2，…，n）则,i1baiibi二、柯西不等式的证明：常用的证明柯西不等式的方法有：1）配方法：nnn222作差：因为()abaij()(ibi)ij11i1nnnn22()abaij()()ibaij(bj)ij11ij11用心爱心专心2nnnn22abijababiijjij11ij11nnnnnn12222(2abijabjiababijji)2ij11ij

5、11ij11nn12222(2abijabababijjiji)2ij11nn12()abijabji02ij11nnnnnn222222所以()abaij()(ibi)0，即()abij()(aibi)ij11i1ij11i12222222即()abab……ab(aa……ab)(b……b)1122nn12n12n当且仅当abab0(,ij1,2,……,)nijjiaaij即(in1,2,……,;jn1,2,……,;b0)时等号成立。jbbij2）利用判别式证明（构

6、造二次函数法）nn若2，则此时不等式显然成立。若2，ai0aa12....an0.ai0i1i1nnnn2222构造二次函数fxaiix2abixbiaxiib0对于ii11i1i1xR恒成立，所以此二次函数fx的判别式△≤0，即得证。3）用数学归纳法证明用心爱心专心3i）当时，有222，不等式成立。n1()abab111222222当n=2时，()abababab2abab112212221122222222222222()aabb()abababa

7、b121211221221。因为2222，故有22222abab2abab()abab(aab)(b)1221112211221212aa12当且仅当abab，即时等号成立。1221bb12ii）假设nk时不等式成立。即2222222()abab……ab(aa……ab)(b……b)1122kk12k12kaaa12n当且仅当……时等号成立。bbb12n那么当nk1时，2()abab……abab1122kkk1k1222()abab……ab2ab(abab……ab)ab1122kkk1

8、k11122kkk1