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1、Vol.10,No.4高等数学研究Jul.,2007STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS109*Cauchy不等式的不同形式及其证明潘群星张良云(南京农业大学理学院南京210095)n2摘要分类给出在n维实空间R中,l(R)空间中,Riemann积分中,概率空间(,F,P)中以及内积空间中Cauchy不等式的不同形式并利用多种方法对其加以证明.关键词Cauchy不等式;Riemann积分;随机变量;内积中图分类号O178在高等数学课程中有许多定理和公式的证明都是由Cauch
2、y不等式来解决的,因此它具有重要的理论意义.在工程测量中有时要应用Cauchy不等式进行测量估计和误差分析,因此它有重要的实践意义.下面从不同角度给出Cauchy不等式的证明及其应用.n1n维实空间R中的Cauchy不等式形式nnn222aibiaibi.(1)i=1i=1i=1n2证法1设f(x)=(xai-bi)!0,(x∀R),则i=1nnn222xai-2xaibi+bi!0,i=1i=1i=1对于任意的x∀R成立.因此由其判别式nnn2224aibi-4aibi0i=1i=1i=1易得(1)式成立.n-1n-12
3、证法2要证(1)式成立,只需证aibj+1-aj+1bi!0.成立.实际上这个结果是显然i=1j=i的,并且等号成立当且仅当aibj-ajbi=0(i#j且i,,j=1,2,∃n)即,ai与bi成比例.证法3由于n22naibi
4、aibi
5、+=2!2.22222222i=1a1+∃+anb1+∃+bni=1a1+∃+anb1+∃+bnnnn222所以,
6、aibi
7、aibi,i=1i=1i=1从而得(1)式成立.22l(R)空间中的Cauchy不等式形式%%%22设级数an和bn收敛则级数anbn(绝对)收敛,而且n=1n
8、=1n=1%%%222anbnanbn.(2)n=1n=1n=1*收稿日期:2005-06-25.基金项目:教育部&新世纪农林院校大学数学教学规范的研究与实践∋资助项目.110高等数学研究2007年7月%22证明由0
9、anbn
10、(an+bn)/2知anbn(绝对)收敛.记n=1nnn22Sn=aibi,An=ai,Bn=bi.i=1i=1i=12则由(1)知SnAnBn.再由数列极限性质可得(2)式成立.%%%222推论设级数an和bn收敛,则级数(an+bn)收敛.并且n=1n=1n=
11、1%%%111222222(an+bn)an+bn.n=1n=1n=1%%1%1%12222222证明显然(an+bn)收敛.若要证明(an+bn)an+bn成立,只n=1n=1n=1n=1%%%112222需证明anbnanbn成立.实际上,由(2)式易知后者成立.故推论成立.n=1n=1n=1%%%%注1如果正项级数an和bn收敛,则上述结果仍成立.这是由于,当an和bn收敛n=1n=1n=1n=1%2时,(an+bn)收敛,lim(an+bn)=0.因此当n充分大时有0an+bn1,故(an+bn)an+b
12、n.n=1n(%%2所以由比较判别法和收敛级数的性质知(an+bn)收敛.n=13Riemann积分中的Cauchy不等式形式设f(x)和g(x)在[a,b]上Riemann可积,则b2bb22f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.(3))a)a)ab-a证法1将区间[a,b]进行n等分,分点xi=a+i,i=0,1,2,∃n.从而nbnb-af(x)g(x)dx=limf(xi)g(xi),)an(%i=1nnb22b-af(x)dx=limf(xi),)an(%i=1nnb22b-ag(x)dx=limg(xi).)an(%
13、i=1nnnn222由(1)知式f(xi)g(xi)f(xi)g(xi).i=1i=1i=1再由极限保号性知(3)式成立.2证法2设F(t)=(tf(x)-g(x))!0,则bbb222tf(x)dx-2tf(x)g(x)dx+g(x)dx!0.)a)a)a对于任意的t∀R成立,因此由其判别式b2bb224f(x)g(x)dx-4f(x)dxg(x)dx0)a)a)a易知(3)式成立.t2tt22证法3构造函数F(t)=f(x)g(x)dx-f(x)dxg(x)dx,(atb),则)a)a)a第10卷第4期潘群星,张良云:
14、Cauchy不等式的不同形式及其证明111ttt2222F∗(t)=2f(t)g(t)f(x)g(x)dx-f(t)g(x)dx-g(t
