柯西不等式的证明及在极值问题上的应用_陈章然.pdf

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1、周刊2011年第85期○数学教学与研究柯西不等式的证明及在极值问题上的应用陈章然（南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院，江苏泰州225300）摘要：本文通过对柯西不等式的研究，得出了几种新解决一些中学数学中的有关问题.构造柯西不等式解题能够的证明方法：配方法、向量法、行列式性质、数学归纳法、运用打破常规，有利于培养学生的创新思维，充分发挥柯西不等式二元二次型的正定性，最后讨论了柯西不等式在极值问题上的教育功能.的应用.一、柯西不等式的证明关键词：柯西不等式证明方法极值问题柯西不等式是一个重要的不等式，其应用极为广泛.无论是高等数学还是初等数学，都有

2、不少问题可以用它来解决.柯柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，价值不可西不等式的多种方法证明及灵活应用，对培养数学思维能力估量.它以对称和谐的结构，应用的广泛性，引起了人们的兴也颇有益处.下面给出柯西不等式的五种证明方法.趣和探讨。它对推导其他数学结论和数学解题及在实际运用1.配方法中都有非常重要的作用.2222222证明：（a+a+…+a）（b+b+…+b）-（ab+ab+…+ab）本文主要研究柯西不等式的几种证明方法及利用柯西不12n12n1122nn等式来解决一些数学问题，最后还给出柯西不等式的一些推nnnnnnn22222广.柯西不等式在

3、理论中占有很重要的地位，灵活巧妙地应用=（∑ai）（∑bi）-（∑aibi）=∑∑aibj-∑∑aibjajbii=1i=1i=1i=1j=1i=1j=1它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，起到事半功倍的作nnnnnn12222用，也有利于培养人的逻辑思维能力和推理论证能力.同时，=（∑∑aibj+∑∑ajbi-2∑∑aibjajbi）2i=1j=1i=1j=1i=1j=1柯西不等式也是高考考查的重点内容.柯西不等式不仅在高nnnn等数学中是一个十分重要的不等式，而且对初等数学也有很1222212=∑∑（aibj-2aibjajbi+ajbi）=∑

4、∑（aibj-ajbi）≥0重要的指导作用，利用它能高瞻远瞩、居高临下，能够方便地2i=1j=12i=1j=13.评价的主体单一。有进步”、“学习有困难吗”、“最近的题目正确率较高，希望字评价主体是指具备一定评价知识技能，能够实际参加写端正点”、“又是全对，你真棒”，等等。这些言辞之间包含着评价活动的人.在素质教育评价中，评价主体具有广泛性，肯定、激励、希望，带着教师强烈感情色彩的评语，让学生时时既包括老师、学校领导、教育行政机构，又包括学生和家长，感受到老师的关爱。以往的评价基本是由老师完成的，我们要改变单一评价主2.寓“评价”于个别辅导之中。体的

5、现状为自评、互评、师评、家长评和社会评等多元化评我充分利用对学生进行个别辅导的时间，在帮助学生解价主体，使评价成为教师、管理者、学生、家长共同积极参与决学习困难的同时，通过交流，对学生的学习行为和学习态度的交互活动。作出评价，充分肯定学生的闪光点，同时耐心指出学生存在的4.评价的导向功能单一。不足之处，为了体现对学生的尊重，在个别辅导时，不能怕麻有什么样的评价，就有什么样的教学内容与学习内容，也烦，把个别辅导作为师生交流的又一平台，让学生在和老师交就会导致什么样的结果。例如，有的内容虽然教材上有，大纲流学习状况的同时，也进行心灵的交流和沟通。日积月累

6、，虽也作了明确的说明和要求，但只要升学考试不考，教师教学时然教师辛苦了，但学生的笑容多了；虽然教师劳累了，但学生就不讲，学生也不学。又如，如果以知识、技能的掌握为唯一的的学习轻松了。评价基准，就会把教学导到“题海战术”与“填鸭式”教学。学生3.寓“评价”于学生的自我反思之中。的学习方式就是简单的模仿与记忆，就会花大量的时间与精我鼓励学生针对自己的学习状况展开反思，进行自我评力去做各种不同类型的习题与记忆各种题型及其解法和技价，达到教育目的。学生作业存在问题，不仅要求学生及时纠巧，死记公式与概念，缺乏对知识意义深层次的理解与掌握；错，还要求学生进行有效

7、反思，学生的反思重在原因分析，如：缺乏动手实践，自主探究与合作交流的实践与机会。最终结果“这次的作业错误较多，主要是平时上课不认真，今后我一定是“高分低能”，学生的知识面狭窄，动手实践能力与探索创新要认真听讲。”“老师请相信我，我下一次会考得更好。”“老师，能力低下，学习能力和素质受到严重影响。这次错误较多的原因是我没有认真检查，请您相信我，下次会二给您惊喜的。”读着这些话语，我既能感受到学生在自觉地对通过教学研究，我认识到，提高数学学习质量的关键在于他的自我学习行为的检验和反思，又能看到这些学生在挫折培养学生的学习能力，改进学生的学习方式。因此，除

8、了需要面前表现出来的勇气和信心。研究教材，研究课堂之外，更新现有的学生评价机制，也是教评价是与教学过程并行的