蝴蝶定理推广【蝴蝶定理的八种证明及三种推广】.docx

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1、蝴蝶定理推广【蝴蝶定理的八种证明及三种推广】蝴蝶定理的证明定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F，则M是EF的中点。在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1如图2，作OU^AD，OV^BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于ÐEUO=ÐEMO=90°ÐFVO=ÐFMO=90°得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。则ÐAUM=ÐEOM，ÐMOF=ÐMVC又:MAD::MCB，U、V为AD、BC的中点，从而DMUA:DM

2、VC，ÐAUM=ÐMVC则ÐEOM=ÐMOF，于是ME=MF。证法2过D作关于直线OM的对称点D"，如图3所示，则ÐFMD"=ÐEMD，MD=MD"1○联结D"M交圆O于C"，则C与C"关于OM对称，即PC"=CQ。又111ÐCFP=QB+PC）=QB+CC"+CQ）=BC"=ÐBD"C"222故M、F、B、D"四点共圆，即ÐMBF=ÐMD"F而ÐMBF=ÐEDM○2由○1、○2知，DDME@DD"MF，故ME=MF。图2证法3如图4，设直线DA与BC交于点N。对DNEF及截线AMB，DNEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有FMEANB

3、FMEDNC××=1，××=1MEANBFMEDNCF由上述两式相乘，并注意到NA×ND=NC×NB得图3FMANNDBFCFBF×CF=×××=2MEAEEDBNCNAE×ED2=(PM+MF)(MQ-MF)=PM-MFPM-MEMQ+MEPM2-ME222[2]化简上式后得ME=MF。2不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。图4证法4（Steven给出）如图5，并令ÐDAB=ÐDCB=aÐADC=ÐABC=bÐDMP=ÐCMQ=gÐAMP=ÐBMQ=dPM=MQ=aME=x，MF=ySDAMESDFCMSDE

4、DMSDFMB×××=1即由SDFCMSDEDMSDFMBSDAME，AM×AE×sinaFM×CM×singED×MD×sinbMF×MB×sind×××=1MC×CF×sinaEM×MD×singFB×BM×sinbMA×ME×sind图5MF2CF×FBQF×FP(a-y)(a+y)a2-y2化简得====222MEAE×EDPE×EQa-xa+xa-xy2a2-y2即2=2从而x=y,ME=MF。2xa-x，证法5令ÐPMD=ÐQMC=a，ÐQMB=ÐAMP=b，以点M为视点，对DMBC和DMAD分别应用张角定理，有sin(a+b)

5、sinbsinasin(a+b)sinbsina=+=+MFMCMBMEMDMA上述两式相减，得1ösinbsinaæ1sin(a+b)ç-=MC-MD-()(MB-MA)÷MFMEMC×MDMA×MBèø设G、H分别为CD、AB的中点，由OM^PQ，有MB-MA=2MH=2OMcos(90°-b)=2OMsinbMD-MC=2MG=2OMcos(90°-a)=2OMsina于是sin(a+b)ç故ME=MF。1öæ1-÷=0而a+b¹180°，知sin(a+b)¹0，MFMEèø，（二）运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明在数学中用函数的

6、方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。证法6（单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为x2+(y+a)=R22。直线AB的方程为y=k1x，直线CD的方程为y=k2x。由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为méx2+(y+a)-R2ù+léë(y-k1x)(y-k2x)ùû=0ëû222令y=0，知点E和点F的横坐标满足二次方程(m+lk1k2)x+ma-R=02()，由于x的系数为0，则两根x1和x2之和为0，即x1=-x2，故ME=MF。证法

7、7如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为[5](x-a)2+y2=r2。则x1、x4分别是二次方直线AB、CD的方程可写为y=k1x,y=k2x又设A、B、C、D的坐标为(xi,yi),i=1,2,3,4程，(x-a)222+k12x2=r2,(x-a)+k2x=r2的一根。AD在y轴上的截距为2k2x4-k1x1)x1(k1-k2)x1x4(y4-y1y1-×x1=k1x1-=x2-x1x4-x1x4-x1。同理，BC在y轴上的截距为(k1-k2)x2x3x3-x2两根。，注意到x1、x2是方程(1+k)x212-2ax+a2-r2=

8、0x2-2a+x2的x3、x4是方程(1+k)22x+xx1+x22a-a20=r的两根，所以=22=34从而易x1x2a-rx3x4，图8得xxx1x2+34=0即ME=MF。