计算机实时控制系统的设计-Z平面根轨迹法.ppt

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时间:2020-04-04

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1、Z平面根轨迹设计黄国放庞士君1.Z平面的根轨迹计算机控制系统经过Z变换以后,可表示为图1所示图1计算机控制系统其中:为零阶保持环节与被控对象的组合Z传递函数.为数字控制器Z传递函数。Y(z)GD(z)Z平面根轨迹定义为:当系统的某个参数(如开环增益))由零到无穷大变化时,其闭环特征根的集合。该系统的闭环Z传递函数为闭环系统的特征方程式为(1.1)将系统的开环Z传递函数写成零极点形式(1.2)式中和分别为开环零极点数,m为零点数,n为极点数,K为根轨迹增益。根据(1.1)特征方程式,根轨迹特征方程为即上式可表示为模值方程和相角方程:

2、(1.3)及(1.4)其中(1.4)式决定闭环系统根轨迹的充分必要条件,而(1.3)式主要是确定根轨迹上各点对应的开环增益值.根轨迹法是一种图解法,在已知系统开环传递函数零、极点分布的情况下,研究系统的某个参数变化时,对闭环传递函数极点分布的影响(闭环极点能决定系统的稳定与否。)Z平面上根轨迹的特点:(1)Z平面极点的密集度很高(因为无限大的S左半平面映射到有限的单位圆内),Z平面上2个很接近的极点,对应的系统性能却有较大的差别,因此,要求根轨迹的计算精度较高,如表1.1所示。(2)在S平面中,临界放大系数是由根轨迹与虚轴的交点求

3、得,Z平面的临界放大系数则由根轨迹与单位圆的交点求得。(3)在离散系统中,只考虑闭环极点位置对系统动态性能的影响是不够的,还需考虑零点对动态响应的影响。S平面极点位置Z平面极点位置T=1T=0.1T=0.01T=0.0010.360.0000450.000045∠±139.5º0∠±45º0.9050.3680.368∠±86º0.000045∠±139.5º0.990.9050.905∠±8.6º0.368∠±85º0.9990.990.99∠±0.86º0.905∠±8.6º表1.1Z平面极点的密集度、2.系统的动态指标和Z域

4、极点位置的关系以二阶系统为例(高阶系统可近似二阶系统)(1.5)其特征根为其实部和虚部的绝对值分别为:(1.6)(1.7)动态指标单位阶跃响应:超调量:上升时间:峰值时间:调节时间(5%误差带):(1.8)(1.9)(1.10)(1.11)(1.12)设计方法根据性能指标(即、n等)完全可以确定S平面上主导极点位置范围,进而根据确定Z平面极点位置的范围。在Z平面上,有3条典型轨迹:等ξ线——对数螺旋线,等Re(s)线——同心圆,等Im(s)线——射线所包围的区域,则应满足给定的动态指标要求。(1.13)等ξ线根据超调量σ%指

5、标要求,由式(1.9)式,可确定阻尼比ξ的值。在S平面,阻尼比相同的特征根轨迹是从原点出发的射线,且与负实轴的夹角为等ξ线映射至Z平面,则为对数螺旋线。(1.14)等Re(s)线根据调节时间指标要求,由式(1.12),可得平面实部绝对值,映射至Z平面,其特征根的模应为:即为同心圆。等Im(s)线根据峰值时间或上升时间要求,均可求到S平面特征根的虚部(式(1.10)或式(1.11),映射至Z平面,其特征根相角则是通过原点的射线。设计思路根轨迹法实质上是一种闭环极点的配置技术,也即通过反复试凑的办法,设计控制器的结构和参数,使整个闭环

6、系统的主导极点配置在期望的位置上。设计步骤第1步根据给定的时域指标,在Z平面画出期望极点的允许范围第2步设计数字控制器D(z)第3步进行数字仿真验证,检验闭环系统的动态响应第4步在计算机上编程实现D(z)的算法第1步期望极点的允许范围如前分析二阶主导极点范围的方法第2步设计数字控制器D(z)(a)求出组合对象脉冲传递函数,即(b)试探法确定控制器D(z)的结构形式,常用的控制器有相位超前及相位滞后的一阶形式,其脉冲传递函数为其中,zc为实零点、pc为实极点(1.15)(1.16)Kc选取若要求数字控制器不影响系统的稳态性能,则即零

7、、极点关系zc>pc:相位超前控制器,又可称为高通滤波器,这时Kc>1Zc

8、数的零点数多于对应的连续系统,因为系统的性能还受零点的影响;所得极点范围是按二阶系统的品质指标近似绘制的。而实际系统经常是高于二阶的,高阶系统的响应尽管主要取决于它的一对主导极点,但其他非主导极点也有一定的影响。设计例子某数字随动系统,被控对象的传

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