《概率论与数理统计》学习笔记一.pdf

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1、概率论与数理统计—学习笔记一主题：《概率论与数理统计》学习笔记学习时间：整学期《概率论与数理统计》学习笔记一——随机事件与概率（一）一、随机试验为了研究随机现象内部存在的数量规律性，必须对随机现象进行观察或试验，今后我们把对随机现象所进行的观察或试验统称为试验。抛一硬币，观察正、反面出现的情况。掷一枚骰子，观察出现的点数。把一硬币连抛两次，观察正反面出现的情况。一射手进行射击，直到击中目标为止，记录射击次数。在同一生产条件下生产的一种电子元件，任意抽取一件测试其寿命。上面列举的5个试验的例子有以下共同特点：（ⅰ）试验可在相同条件下多次重复进行；（ⅱ）每次

2、试验可能结果不止一个，且在试验之前能够明确试验的所有可能结果；（ⅲ）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。具有以上3个特点的试验称为随机试验，简称试验，记为E。二、样本空间在一个随机试验E中，试验的所有可能结果组成的集合称为该随机试验的样本空间，记为Ω，样本空间的每个元素称为样本点，常用ω表示。如例1，试验可能结果：正（正面朝上）、反（反面朝上），因此样本空间Ωω=ω=＝｛正，反｝若记1正，2反，则样本空间可记为Ω={ω1,ω2}ω=i又如例2，试验的所有可能结果有6个：1点，…，6点，若记i点，i=1,2,L,6则样本空间可记为Ω={ω16,,Lω

3、}在例3中，若记ωω12==()正，正，(反，正)ωω34==()正，反　，()反，反则Ω={ω1,,ωω23,ω4}概率论与数理统计—学习笔记一在例4中，若用n表示“击中目标所需的射击次数为n”这一结果，n=1,2,L,则Ω={1,2,3,L}在例5中，若用x表示“电子元件使用寿命为x小时”这一结果，0≤

4、它的样本点为不可列无穷多个。三、随机事件在一个随机试验E中，E中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，常用大写英文字母A，B，C…来表示，随机事件简称事件。对于一个随机试验来说，它的每个可能结果显然都是一个随机事件，它们是随机试验中最简单的随机事件，称为基本事件。在一个随机试验中，除基本事件外，还有由若干个可能结果所组成的事件，称这种事件为复合事件。如在例1中“正面朝上”，例2中“出现的点数小于3”，例3中“两次都抛得正面朝上”，例4中“射击次数是5”，例5中“电子元件寿命不超过2000小时”等都是随机事件，可分别记为：A＝｛正面朝上｝B＝｛点数小于3

5、｝C＝｛两次都抛的正面朝上｝D＝｛射击次数是5｝E＝｛元件寿命不超过2000小时｝在上述事件中A、C、D都是相应随机试验中的基本事件，而B、E都是复合事件。随机试验中的任事件中都可用样本空间的子集表示。一个随机事件发生，当且仅当它的某一个样本点出现。由一个样本点组成的单点集，即为基本事件。在随机试验中，每次试验必然发生的事件称为必然事件，每次试验都不发生的事件称为不可能事件。必然事件用Ω表示，不可能事件用Φ表示。四、事件的关系和运算包含若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为A⊂⊃B或　BA。概率论与数理统计—学习笔记一A⊂B,且　B⊂

6、A,相等若则称事件A与B相等，记为A＝B。和表示A与B中至少有一个发生的事件，称为事件A与B的和事件，亦称为事件A与B的并，记为AUB。积表示事件A与B同时发生的事件，称为A与B的积事件，也称为事件A与B的交，记为AIB。差表示事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与B的差事件，记为A−B。互不相容若事件A、B不能同时发生，即AB＝Φ，则称A与B是互不相容事件，或称是互斥事件。对立若事件A、B满足：ABU=Ω且AB=Φ，则称事件A与B互为对立事件。A的对立事件记为A，则A=Ω−A=B。和事件、积事件概念可推广到任意有限个情形和可列无穷多情形。常用的事

7、件运算规律：AUUBB==A,ABBA交换律：A()BUUC==(AB)UC,A(BC)(AB)C结合律：AUI()BC=(AUIUB)(AC)分配律：AIU()BC=(AIUIB)(AC)对偶律：AUIBA=BABA=UB例1设A、B、C是随机试验E中的事件，则事件“A与B发生，C不发生”可表示为ABC，事件“A、B、C中至少有一个发生”可表示为AUUBC，事件“A、B、C中恰好发生一个”可表示为ABCUUABCABC.把事件AUB写成互不相容事件的和事件的形式，则有AUUBA=−()BA=−AU(BAB).试问还有其它写法吗？思考题：把AUUBC写成

8、互不相容事件的和事件的形式。概率论与数理统计—学习笔记一五、频率的定义设随机事件