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1、第二章线性方程组的数值解法确定小行星轨道以太阳为原点在轨道平面内建立直角坐标系,取天文测量单位,在五个不同时间观察小行星,测得坐标数据：x4.55965.08165.55465.96366.2756y0.81451.36851.98952.69253.5265通过计算确定椭圆方程a1x2+2a2xy+a3y2+2a4x+2a5y+1=0a1xj2+2a2xjyj+a3yj2+2a4xj+2a5yj+1=0将五个点的坐标(xj,yj)(j=1,2,3,4,5)代入二次曲线方程,得关于a1,a2,a3,a4,a5的方程
2、组在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量的n个方程构成的线性方程组方程组还可以用矩阵形式表示为:Ax=b(2.1)克莱姆法则需{[(n+1)(n-1)]n!+n}次乘除法运算(1)输入系数矩阵A和右端向量b;(4)计算并输出x1=D1/D;····,xn=Dn/D,结束。(3)对k=1,2,···,n用b替换A的第k列数据,并计算替换后矩阵的行列式值Dk;(2)计算系数矩阵A的行列式值D,如果D=0,则输出错误信息结束,否则进行第(3)步;线性方程组数值解法的分类：线性方程组数值解法的分类：直接法◆Gauss消
3、去法及其变形◆矩阵的三角分解法迭代法◆Jacobi迭代法◆Gauss-Seidel迭代法◆松弛迭代2.1高斯消元法1．三角形方程组的解法---回代法2.顺序Gauss（高斯）消元法是一种规则化的加减消元法。基本思想通过逐次消元计算把需要求解的线性方程组转化成上三角形方程组，也就是把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价（同解）的上三角形方程组的求解。Gauss消元法由消元和回代两个过程组成，先讨论一个具体的线性方程组的求解。例1用Gauss消元法解方程组用增广矩阵进行进算这样，
4、对于方程组(2.1)用增广矩阵表示，并给出Gauss消元法的具体步骤：或者Ax=b顺序Gauss消元法的消元过程可表述如下：第一步：设a11(1)≠0，将第一列a11(1)以下各元素消成零乘以矩阵[A（1），b（1）]的第一行再加到第i行，得到矩阵(i＝2，3，…，n)即依次用其中第二步：设a22(2)≠0，将第二列a22(2)以下各元素消成零（i＝3，4，…，n）即依次用乘以矩阵[A（2），b（2）]的第二行再加到第i行，得到矩阵其中如此继续消元下去第n－1步结束后，得到矩阵增广矩阵[A（n），b（n）]对应如下
5、上三角形方程组这是与原线性方程组（2.1）等价的方程组.对于等价方程组进行回代求解，可以得到：首先写出增广矩阵于是，采用Gauss消元法求解方程组(2.1)然后进行消元，采用公式最后进行回代得到方程组的解得到相似增广矩阵（i＝k+1，k+2，…，n）在编程计算时，最后的增广矩阵存放的元素是：算法.顺序Gauss消元法可执行的前提定理1给定线性方程组，如果n阶方阵的所有顺序主子式都不为零，即则按顺序Gauss消去法所形成的各主元素均不为零，从而Gauss消元法可顺利执行。注：当线性方程组的系数矩阵为对称正定或严格对角
6、占优阵时，按Gauss消元法计算是稳定的。例2用Gauss消元法求解方程组：例3用Gauss消元法求解线性方程组a=[121-2;253-2;-2-235;1323];b=[47-10];(ab')fork=1:3d=a(k,k);c=a(k,:);c0=b(k);fori=k+1:4l=a(i,k)/d;a(i,:)=a(i,:)-l*c;b(i)=b(i)-l*c0;endendb(4)=b(4)/a(4,4);fork=3:-1:1b(k)=(b(k)-a(k,k+1:4)*b(k+1:4)')/a(k,k
7、);endb=b'MATLAB程序ans=[2-12-1]b=[2-12-1]3、列主元Gauss消元法顺序Gauss消元法计算过程中的akk(k)称为主元素，在第k步消元时要用它作除数,则可能会出现以下几种情况若出现akk(k)＝0，消元过程就不能进行下去。akk(k)≠0，消元过程能够进行，但若
8、akk(k)
9、过小，也会造成舍入误差积累很大导致计算解的精度下降。例4:在四位十进制的限制下，试用顺序Gauss消元法求解如下方程组此方程组具有四位有效数字的精确解为x1＝17.46，x2＝－45.76，x3＝5.
10、546解用顺序Gauss消元法求解，消元过程如下经回代求解得x3＝5.546，x2＝100.0，x1＝－104.0和此方程组的精确解相比x3＝5.546，x2＝－45.76，x1＝17.46有较大的误差。对于此例，由于顺序Gauss消元法中的主元素绝对值非常小，使消元乘数绝对值非常大，计算过程中出现大数吃掉小数现象，产生较大的舍入误差，最终导致计算解x1＝－
