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1、经济数学——微积分陈业2014-09-25本章我们首先介绍函数，关于极限理论的基本概念、运算和性质，以及函数的连续性到下一章再介绍。第一章函数1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集第一节集合数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.是B的子集,或称B包含A,集合之间的关系及运算定义则称A若且则称A与B相等,例如,显然有下列关系:,,若设有集合记作记作必有定义给定两个集
2、合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积例:记为平面上的全体点集或称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:4.绝对值:运算性质:绝对值不等式:绝对值不等式的两个变形公式：绝对值不等式的证明①两式相加得②几何直观③分四种情况验证xyx+y④在复数范围内成立为证三角不等式只须证明为证上式，又只须证明又只须证明由基本不等式上式是显然的对三角不等式及其证明方法要加深
3、印象，深刻理解，灵活运用，后面将要讲到的极限在很多情况下要用到三角不等式来对不等式进行放大和缩小。同理一、映射的概念第二节映射与函数定义设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作元素y称为元素x在映射f下的像,记作元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集称为f的值域.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射
4、.引例2,3引例2引例2例1.例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例3.如图所示,则有(满射)(满射)二逆映射与复合映射(1)逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f的逆映射.定义.则当由上述映射链可定义由D到Y的复设有映射链记作合映射,时,或注意:构成复合映射的条件不可少.(2)复合映射定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，若对于任意的x∈D，变量y按照确定的法则总有唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数记作自变量因变量三
5、、函数的概念函数的两要素:定义域与对应法则.自变量对应法则f因变量约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．定义:几个特殊的函数举例(1)符号函数1-1xyo取整函数y=[x][x]表示不超过x的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo(3)狄利克雷函数有理数点无理数点•1xyo(4)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.(5)绝对值函数
6、oxy定义域R值域例脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压例解故四、函数的基本性态1．函数的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界M-MyxoX无界2．函数的单调性:xyoxyo3．函数的奇偶性:yxox-x偶函数yxox-x奇函数4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.一、复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①—复合映射的特例②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合第三节复合
7、函数与反函数初等函数两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:二反函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数三初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所
8、构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素
