矩阵方程A TXB—C的正交反对称解及其最佳逼近.pdf

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1、北京石油化工学院学报第18卷第2期Vo1．18NO．2JournalofBeijingInstituteof2010年6月Jun．2O10Petro—chemicalTechnology矩阵方程A了-C的正交反对称解及其最佳逼近章联生(北京石油化工学院数理系，北京102617)摘要讨论了约束矩阵方程问题，其理论在自动控制、经济、振动理论以及土木工程等领域有着广泛的应用。通过广义奇异值分解定理，得到了矩阵方程AXB—C(AER，B∈R，CER)的正交反对称解存在的一个充要条件及其通解表达式，并导出了该矩阵方程与已知矩阵最佳

2、逼近的正交反对称解和最小范数解。关键词矩阵方程；正交反对称矩阵；最佳逼近解中图法分类号0175．13约束矩阵方程问题是指在满足一定条件下ll·ll表示由内积导出的范数即Frobenius范的矩阵集合中求给定矩阵方程解的问题。不同数，A*B表示矩阵A与．B的Hadamard乘积。的约束条件、不同的矩阵方程均构成不同的约定义设x∈R”，给定PESOR”，若x束矩阵方程问题。约束矩阵方程问题的理论在满足x一一PXP，则称x为P正交反对称矩控制论、信息论、振动理论、系统识别、结构动力阵。所有P正交反对称矩阵的全体记为模型修正和自

3、动系统模拟等领域都有着重要的R2(P)一{X∈R”lX一一PXP}。应用。正是这些领域中提出的不同类型的问题对于P反自反矩阵有许多特殊的性刺激着约束矩阵理论的快速发展，使得约束矩质，在工程和科学计算方面有广泛的应阵方程问题成为当今应用数学中最活跃、最热用[1315]。对于矩阵方程AXA—B(其中A∈门的研究课题之一。R，B∈R为已知)，文献[1—3]中详尽地目前约束矩阵方程涉及到的矩阵方程主要讨论矩阵方程AXA—B在R”上的一般解、有AX—B，AXA—B，AXA—B，AXB—C，对称解和对称正定解的充要条件；文献[4]中

4、讨A”XB—C，⋯，另外还有一些矩阵方程组。约论了它有中心对称解的充要条件及通解表达束矩阵方程问题涉及两个主要方面：一是理论式，并给出了它与已知矩阵的最佳逼近解；文上的可解性，即从理论上寻求问题有解的充要献[5]中给出它的对称正交对称解及其最佳逼条件；二是实际上的可算性，即从算法上实现问近解；文献[6]中给出了方程AX=c的自反解题的解。和反自反解，文献[7—8]中给出了方程AXB—C(其中A∈R，B∈R，c∈R为已知)的设R表示所有n×m实矩阵集合，J表对称解和正交对称解。示n阶单位矩阵，表示矩阵A的转置矩阵，笔者考虑

5、方程AXB—C的如下问题：rank(A)表示矩阵A的秩，R：一{XERl问题I给定A∈R，B∈R，C∈RrankX一”)表示n阶可逆方阵集合，OR表示及P∈SOR，求x∈R：(P)，使n阶正交矩阵的集合，SOR”={PEORlPAXB—C(1)一P}表示对称正交矩阵的集合。在R上定问题Ⅱ设问题I的解集非空，给定义内积为一trace(B_A)，A，B∈R，x∈R”，求∈s，使{l一xll—rainlx—xIl(2)收稿日期：2010O卜2OXESr6O北京石油化工学院学报2010年第18卷可见方程ArXB—C是文

6、献[1—6]中方程tl—rank(aT，A)，尼1一t1一rank(Ar)，S1一的推广，文献[7—8]中讨论了方程ArXB—Crank(A~)+rank(Ar)一t1，D1A—diag(口lA，问题工形式的对称解和正交对称解，但未讨论a2A，⋯，盘A)>0，D2A—diag(b1A，62A，⋯，bA)问题Ⅱ。笔者将利用矩阵广义奇异值分>0，OA，O2，O均为零矩阵。解n]，给出问题工有反自反解的充要条件及设矩阵对EBT，B]的广义奇异值分解为解的表达式，并求出了问题Ⅱ的反自反解的表B===w三BU舌，曰：WB三。By舌

7、(8)达式，最后得出了问题I的反自反最小二乘其中wB∈R：，uBEOR，VBE解。这些结论是文献[6]中部分结果的推广。OR‘”一‘⋯，且忌，1问题I的解S2∑1B一引理1嘲矩阵x∈R：(P)的充要条件r一是2一S2是x可以表示为0一rf0X1]是2X—U『lXlU(3)20J02B，其中矩阵S，X1∈R‘，X2∈R‘⋯，∑2B一t2一是2一S2rrank『(HP)]，0一￡2—r+凫2一t2S2t2一是2一s2(9)U由P唯一确定。t2一rank(BT，B)，尼2===t2一rank(B~)，记rs2一rank(BT)

8、+rank(B~)一t2，u一㈡，D1B—diag(a1B，a2B，⋯，aB)>0，DBD2B—diag(blB，b2B，⋯，6B)>0，Al∈R”，A2∈R‘⋯(4)0。，0，0均为零矩阵。B一将矩阵wcw作分块，得：WCW一B1∈R，口2∈R‘(5)C11C12Cl3C14忌设矩阵对EaT，A]的广义奇异值分解为