三角形中的三角函数.ppt

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1、三角形中的三角函数三角形中的有关公式1.内角和定理:三角形三内角之和为,即A+B+C=.注任意两角和与第三个角总互补;任意两半角和与第三个角的半角总互余;锐角三角形三内角都是锐角任两角和都是钝角设△ABC中,角A、B、C的对边为a、b、c,任意两边的平方和大于第三边的平方.三内角的余弦值为正值(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时,务必注意可能有两解.(2)sinA=,sinB=,sinC=;c2Ra2Rb2R2.正弦定理:===2R(R为三角形外接圆的半径).si

2、nCcsinAasinBb注正弦定理的一些变式:(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC;AAS,ASASSA?SSSSAS3.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,cosA=等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.b2+c2-a22bc4.射影定理:a=bcosC+ccosB.5.面积公式:S=aha=absinC=r(a+b+c)(其中r为三角形内切圆半径).121212特别提醒:(1)求解三角形中的问题时,一定要注意A+B+C=这一特性:A+B=-C,sin(A+B)=sinC,sin=cos;(2)求解三角形中含有边

3、角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.A+B2C2应用一:解三角形例1设△ABC的三内角A,B,C成等差数列,三边长a,b,c的倒数也成等差数列,求三内角.例3在△ABC中,若面积为S,且2S=(a+b)2-c2,求tanC的值.A=B=C=60提示:令A-C=2,可得:4cos2-3cos-1=0得:cos=1得:A=C.A=60,B=30,C=9043-应用举例例2在△ABC中,已知b=3,c=23,角A的平分线AD=2,求三角形的三内角的度数.应用二:判断三角形的形状例1△ABC中,若sin2A

4、cos2B-cos2Asin2B=sin2C,判断△ABC的形状.直角三角形例2在△ABC中,已知=,试判断三角形的形状.sin2A-sin2B+sin2Csin2A+sin2B-sin2C1+cos2B1+cos2C例4在△ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,试判断三角形的形状.例5在△ABC中,若a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB,(1)试判断三角形的形状;(2)若cosB=4(1-cosA),求△ABC三边a,b,c的比.直角三角形或等腰三角形正三角形直角三角形或等腰三角形直角

5、三角形;8:15:17例3在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,sinA+sinB=3,试判断三角形的形状.应用三:三角形的证明CBADabbbc提示:(1)法一:边换角法二:角换边(2)法一:边换角法二:角换边法三:构造图形(3)作差换c2即可.差为:2(a2+b2)-4absin(C+30)≥2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0.(正三角形时取等号).例1在△ABC中,求证:(1)=;a-ccosBb-ccosAsinBsinA(2)a2-2abcos(60+C)=c2-2bccos(60+A);(3

6、)a2+b2+c2≥43S(S为△ABC的面积).证:由余弦定理知,cosA,cosB,cosC为有理数,∴cos5即-cosC为有理数,而cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB,证明sinAsinB为有理数即可(由正弦定理可证).或由coscos5=cos(3-2)cos(3+2)=cos23cos22-sin23sin22=cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22)=cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B)为有理数,且cos0,cos5为有

7、理数知:cos为有理数.例2已知△ABC的三边均为有理数,A=3,B=2,试证cos5与cos均为有理数.1.△ABC中,A,B的对边分别为a,b,且A=60,a=6,b=4,那么满足条件的△ABC()A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定C2.在△ABC中,A>B是sinA>sinB成立的_____条件.充要课后练习3.在△ABC中,(1+tanA)(1+tanB)=2,则log2sinC=.12-4.△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,

8、则C=.a2+b2-c2435.在△ABC中,若其面积S=,则C=____.60306.在△ABC中,a=60,b=1,其面积为3,则△ABC外接圆的直径是_______.23937.在△ABC中