数理统计第四章411,412,413,415.pdf

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1、概率论与数理统计作业解答陕西理工学院郭三刚教授完成4.11设随机变量序列{X}依分布收敛于X，随机变量序列{Y}依概率收敛于a，则nn{Znnn=+XY}依分布收敛于X+a．证明设X的分布函数为F，则Z=Xa+的分布函数为FzFza()=(−)．设FXZXXn和F分别为X和Y的分布函数．设z为F的连续点。由于分布函数是几乎处连续的，因YnnnZ()i()i(1)(2)而，对任意充分小的正数δ，总有正数ε，ε<δ，i=1,2，使得z+ε，z−ε是FδδδδZ(1)(2)的连续点，当然za−+ε，za−−ε是F的连续

2、点，且有δδXFzPXYz()=+(≤)Znnn(1)(1)=+PXYzYa(,)≤−<++εεPXYzYa(,)≤−≥nnnδδnnn(1)(1)=≤PX(,)zYYa−−<++εεPXYzYa(,)≤−≥nnnδδnnn(1)(1)(1)≤≤PX(,za−+−εYa<++εε)PXYzYa(≤−,≥)nnδδnnnδ(1)(1)≤≤PX()za−++−εεPYa(≥)nnδδ(1)(1)≤−Fza()++εPYa()−≥ε.XnδnδZ=+XY的分布函数还具有下面的类似不等式nnnFzPXYzZn()=+()

3、n≤n(2)(2)≥≤PXza()nn−−−εεδδ,Ya<(2)(2)≥≤PXza()nn−−−−εεδδPYa()≥(2)(2)=−FzaXn()−−−εεδδPYa()≥.ndP由于X→X，Ya→，于是，有nn(1)(2)limFzFza()≤−(+ε)，limFzFza()≥−(−ε)。n→∞ZXnδn→∞ZXnδ于是，有(2)(1)Fza()−−ε≤limFzFza()≤()−+ε。XZδδnXn→∞由于z为F的连续点，令δ↓0，有ZlimFzFz()=().ZZnn→∞d即X+→+YXa．nndPP4

4、.12如果X→X，Y→0，试证：XY→0．nnnn证明设X和X的分布函数分别为F和F．根据分布函数的性质，对于任意ε>0，nn概率论与数理统计作业解答陕西理工学院郭三刚教授完成存在充分大的a>0和充分大的b>0，使得−a和b都是F的连续点，且Fa(),1().−<ε−Fb<ε又因为F弱收敛于F，于是存在N，当nN>时，有n11FaFa()(),−−−<εFbFb()().−<εnn从而，当nN>时，有1Fa()2,1()2.−<ε−Fb<εnnP又因为Y→0，即对ε>0以及a和b，存在N，当nN>，有n22⎛⎞ε

5、PY⎜⎟≥<ε.n⎝⎠max(,)ab下面估计PXY()≥ε．事实上，由全概率公式，有nn⎛⎞⎧⎫εPXY()nn≥=εεPXY⎜⎟{}nn≥∩∩{}−<≤aXbn⎨⎬Yn<⎝⎠⎩⎭max(,)ab⎛⎞⎡⎧ε⎫⎤+≥PXY⎜⎟⎜⎟{}nnε∩∪⎢{}−aXbYmax(,N)时，112⎛⎞⎡⎤⎧⎫εpPX2=≥⎜⎟⎜⎟{}nnYε∩∪⎢⎥{}−aXbY

6、ε=≥PX⎜⎟⎜⎣⎡⎤{}nnYεε∩∪∩{}−aXbaXbPY∪{}+≥⎜⎟⎨⎬n⎝⎠⎩⎭max(,)ab≤−+−+Fa()1()Fbεnn<5.ε概率论与数理统计作业解答陕西

7、理工学院郭三刚教授完成P所以，XY→0．nn4.13设随机变量X服从柯西分布，其密度函数为nnfx()=−,∞

8、，这里ϕ()1t=刚好为随机变量0的特征函数，因此，X→0．Xn0nn→∞4.15设{X}为一列独立同分布随机变量，其密度函数为：n−−()xα⎧ex,,≥αfx()=⎨⎩0,x<αP令η=min{X,",X}，证明η→α．nn1n解首先计算X的分布函数Fy()，即1X1⎧0,y<α,Fy()=⎨X1−−()yα⎩1,−ey≥α以及单点η=α的分布函数Fy()，即η⎧0,