行列式的降价处理及拉普拉斯定理.ppt

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1、行列式第1节矩阵概念的引入第2节排列及其奇偶性第3节行列式的定义第4节行列式的简单使用与对角线法则第5节行列式的计算与性质第6节行列式的降价处理及拉普拉斯定理第6节行列式的降价处理：按行、列展开降阶、降级处理是数学处理的基本思路之一。对n阶行列式也可使用这一思路：将n阶行列式变成n-1阶行列式进行处理，从而可层层降阶到低阶行列式进行处理，这便是行列式的按行或按列展开。一特殊行列式的降阶处理一般行列式的按行、按列展开特殊行列式的计算拉普拉斯定理例：证明(降阶处理)左端＝＝＝＝右端一特殊行列式的降阶处理更一般地，如下行列式能否降阶处理？又因综上，有一般行列式的按行展开定义：对如

2、下形式的行列式划掉第i行与第j列元素后所得的如下行列式称为元素aij的余子式，记为Mij.(若记并称Aij为aij的代数余子式)上式表明，任意n阶行列式都可按其某一行展开成该行元素与其代数余子式的积的和的形式，并称上式为行列式的按第i行展开式。由于Aij可通过计算一个n-1阶行列式得到，从而上式也表明了行列式可进行降阶处理。按第j列展开行列式＝？两个行列式只在第i行上的元素不同。＝＝＝＝＝＝0综上分析可得:1)当k=i时，上式左端是行列式按第i行的展开式；2)当k≠i时,上式左端表示的是行列式的第k行元素与另一行,即第i行元素的代数余子式相乘。其结果必然为0.定理：设例：例

3、：计算行列式注意行列式按行、列进行展开的着眼点不在于减少计算量，而在于其理论意义。当然在手算具体确定的行列式时，当行列式的某些行与列有大多数0时，能有效化简计算，但这种做法却没有通用性。三特殊行列式的计算(n-1行乘-a1加到第n行；n-2行乘-a1加到第n-1行，余类推)1范德蒙德行列式(上边最后一式右边又是一个n-1级的范德蒙德行列式)从而有（归纳证明），2结论可借助矩阵的按行、列展开用数学归纳法给予严格证明.从而等式右侧＝＝等式右端。＝四拉普拉斯定理1k级子式及k级子式的余子式与代数余子式定义：在一个n级行列式中任意选定k行k列：位于这些行和列的交点上的k*k个元素按

4、照原来的次序组成一个k级行列式M称为行列式D的一个k级子式。当k

5、—行列式乘法定理证明：等式左边等于2n级行列式D证毕。