西安交大离散课件第3章.ppt

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1、第三章函数§1.函数的基本概念§2.函数的复合§3.集合的基数势理论1第三章函数(function)§1.函数基本概念定义1.函数(映射(map)、变换(transformation))函数是后者唯一的关系。即f是由X到Y的函数,记为f:XYfXY(xX)(yY)(zY)((x,y)f(x,z)fy=z)。注:函数概念主要是限制了关系概念中的一对多;但允许多对一;fYf(a)aX函数的图象f2●与函数概念关联的一些概念(1)若(x,y)f,则函数惯用的记法是y=f(x);称x为自变量,称y为因变量。(2)此定义

2、可容纳多值函数f:XY,f(x)=y1,y2,,yk其修改为f:X2Y,f(x)={y1,y2,,yk}2Y。(3)定义域(domain):称f的前域为f的定义域。即D(f)={x:xX(yY)((x,y)f)}={x:xX(yY)(y=f(x))}(4)值域(range):称f的后域为f的值域。即R(f)={y:yY(xX)((x,y)f)}={y:yY(xX)(y=f(x))}。D(f)R(f)XYf函数的定义域和值域3(5)象(image):子集AX的象定义为f(A)={y:yY(x

3、A)((x,y)f)}={y:yY(xA)(y=f(x))}。(6)逆象(inverseimage):子集BY的逆象定义为f-1(B)={x:xX(yB)((x,y)f)}={x:xX(yB)(y=f(x))};fXY集合的象AD(f)f(A)R(f)XYf-1(B)集合的逆象BD(f)R(f)f4特别地,单元素yY的逆象是f-1({y})={x:xX(x,y)f}={x:xXf(x)=y}。(7)全函数(fullfunction):处处有定义的函数。即D(f)=X(或者f-1(Y)=X)(8)偏函

4、数(partialfunction):部分有定义的函数。即D(f)X(或者f-1(Y)X)。XD(f)D(f)X5例1..投影函数(projectionfunction)uni:X1X2XnXiuni(x1,x2,,xn)=xi(i=1,2,,n)例2截痕函数(crossfunction):f:X2XY,f(x)={x}Y。例3.计算机是一个函数。即计算机:输入空间输出空间;编译是一个函数。即编译:源程序目标程序。例4.一种定义离散函数的方式是采用下面的分段定义形式。即f:NN。XY{x}YYXx6例5.绝

5、对值函数(absolutevaluefunction)f={(x,

6、x

7、):xR}(这里R是实数集)或者f:RR+{0},f(x)=

8、x

9、(这里R+={x:xRx0}是正实数集),于是D(f)=R,R(f)=R+{0};绝对值函数可以拆成两个函数的并。即f=f1f2,这里f1={(x,x):xRx0},D(f1)=R+{0},R(f1)=R+{0};f2={(x,-x):xRx0},D(f2)=R-,R(f2)=R+;(这里R-={x:xRx0}是负实数集),于是;D(f)=D(f1)D(f2)=R,R

10、(f)=R(f1)R(f2)=R+{0};绝对值函数也可采用下面分段定义的形式。即。7例6.后继函数(successorfunction)后继函数也称为Peano函数。设(X,)是一全序集,并且每个元素的后继存在,即(xX)(yX)(x+=y),则关系P={(x,y):xXyXx+=y}是一函数,即所谓的后继函数。记作s:XX,对任何xXs(x)=x+=x+1。这里加1表示后继,并非都是普通的算术加1。例如,若就是普通的小于等于全序,则当X=I(整数集)时,s(-6)=-6+1=-5,s(1)=1+1=2,相当于

11、普通算术的加1;当X=E(偶整数集)时,s(-6)=-6+1=-4,s(2)=2+1=4,相当于普通算术的加2;当X={n:nI3n}(3倍数整数集)时,s(-3)=-3+1=0,s(9)=9+1=12,相当于普通算术的加3。8例7.第一章§2定义2定义的集合的并运算是一函数。即f(2X2X)2X,f={((x,y),z):x,y,z2Xz=xy}这里(x,y)是前者,z是后者;或者f:2X2X2X,f(x,y)=z=xy,这里(x,y)是自变量,z是因变量;因此f=。例8.函数可以逐点来定义。g:{1,2,3}{

12、A,B,C}g(1)=A,g(2)=C,g(3)=C定义2.函数的相等函数的相等是逐点相等。即设f,g是由X到Y的两个函数,f,g:XY,则f=g(xX)(

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