解的存在唯一性定理与逐步逼近法.ppt

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1、解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1在前一章中，介绍了能用初等方法求解的一阶微分方程的几种类型，但是，也指出，大量的一阶微分方程是不能用初等方法求出其通解的。而另一方面，实际问题所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此，现在把注意力集中在Cauchy问题的求解上，与代数方程类似，对于不能用初等方法求解的微分方程，往往用数值方法求解（这是以后要学的数值分析课程的内容之一）。在用数值方法求Cauchy问题解之前，需要在理论上解决下面两个基本问题：问题的提出(1)Cauchy问题的解是否存在？如果解不存在，要去求

2、解就毫无意义，以后我们将给出在相当一般的条件下，上述Cauchy问题的是存在的.(2)若已知Cauchy问题的解是存在的，我们进一步要问这样的解是否唯一的？因为如果解是不唯一的，由于不知道要确定哪一个解，却要去近似地确定它，问题也是不明确的。下面讨论解的存在唯一性的条件，对于微分方程及相应的Cauchy问题其中是固定的正数。记定义1：设在上有定义，若存在，对任意的使得则称在上关于满足Lipschitz条件，且称为Lipschitz常数。3.1.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法1、定理的内容如果在上R连续且关于y

3、满足利普希茨条件，则方程（3.1）存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件这里一阶微分方程2、拟解决的问题微分方程(3.1)解是否存在？若存在，解是否唯一？如何确定解的存在区间？3、手段：转化微分方程积分方程目标：解？4、方法：逐步逼近法任取一连续函数：如果则终止。否则，如果则终止。否则，如果则终止。否则，称为方程（3.1）的第n次近似解。例：求方程在点(0,0)的3次近似解的表达式。就是所求的近似解。分析，有5、皮卡（Picard）的逐步逼近法的主要思想定义：通过适当的方法，一步一步的逼近所要求的问题的

4、解的方法称为逐步逼近法。定理的等价变形：引入等价的积分方程；作近似函数序列；证明连续系列在区间上一致收敛；证明极限函数是积分方程的连续解；证明是积分方程的唯一解。主要步骤命题1：（等价积分方程）的解，则是积分方程的定义于区间上的连续解。反之亦然。设是方程（3.1）的定义于区间上，满足初始条件：（3.5）证明方法：代入方法。6、等价命题及其证明现在取，构造皮卡逐步逼近函数系列如下：命题2对于所有的n，(3.7)中函数在上有定义、连续且满足不等式：证明方法：数学归纳法。命题3函数序列在上是一致收敛的。分析：转化为函

5、数项级数，讨论该函数项级数的收敛性！工具：利用M-判别法（Weierstass）判别收敛性。目的：寻求收敛正项数项级数。收敛正项级数的通项构造级数它的部分和为：命题4函数是积分方程(3.5)的定义于在上的连续解。利用一致收敛的性质：函数项级数（各项连续）一致收敛的极限函数是连续的，再利用解的定义方法证明极限函数是积分方程的连续解。分析：命题5设是积分方程（3.5）的定义于上的一个连续解，则，．分析：证明任意另一个连续解都是函数序列的极限函数，有以及估计式误差估计式存在唯一性定理中的几何意义;由于Lipschit

6、z条件比较难以检验，常用f(x,y)在R上有对y的连续偏导数来代替。当在区间上为连续时，定理1的条件就能满足。设方程（3.1）是线性的，即方程为7、对存在唯一性定理的一些解释逐次逼近法：这个方法不仅可用来证明方程解的存在唯一性定理，还可以广泛地用于分析中许多其它问题，将各种应用中所使用的逐次逼近方法的本质加以抽象和概括，便可得到各种形式的“不动点定理”。8、一阶隐方程定理2如果在点的某一领域中，则方程（3.15）存在唯一解（h为足够小的正数）满足初始条件对所有变元连续，且存在连续偏导数;（1）（2）3.1.2近

7、似计算和误差估计存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性，并且在证明中所采用的逐步逼近法在实用上也是求方程近似解的一种方法。在估计式（3.14）中令就得到第n次近似解和真正解在区间内的误差估计式这样，在进行近似计算时，可以根据误差的要求，选择适当地逐步逼近函数1、误差公式例：方程定义在矩形区域上，试利用存在唯一性定理确定经过点（0,0）的解的存在区间，并求在此区间上与正解的误差不超过0.05的近似解的表达式。解：1、求M，h；2、求L；3、计算误差估计式，求出n；4、取第一个近似函数并开始叠代；2、例题分析就是所

8、求的近似解。有3.1.3小结主要思想：转化。主要方法：逐步逼近方法、数学归纳法。主要定理：解的存在唯一性定理。主要结果：Picard函数序列；方程的近似解与误差估计。作业：P88-893,10(思考)