E-Vandermonde方程组的快速算法.pdf

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1、第27卷第2期北京建筑工程学院学报Vo1．27No．22011年6月JournalofBeijingUniversityofCivilEngineeringandArchitectureJun．201l文章编号：1004—6011(2011)02—0061—04E．Vandermonde方程组的快速算法刘长河(北京建筑工程学院理学院，北京100044)摘要：将函数差商的概念推广到向量函数，得到向量函数差商的概念，并推出向量函数的Newton插值公式．利用求向量多项式的方法，给出求E—Vandermonde方程组的

2、快速解法．该算法计算量小，精确度高．数值试验验证这一算法的正确性．关键词：线性代数方程组；E—Vandermonde矩阵；差商；Newton插值方法中图分类号：D241．6文献标志码：AFastAlgorithmonSolvingtheNumericalSolutionofSystemofE-VandermondeEquationsLiuChanghe(SchoolofScience，BUCEABeijing100044)Abstract：Conceptionofthedifferencequotientofve

3、ctor—valuedfunctionisderivedfromthatofrealvalued—function，andformulaofNewtoninterpolationaboutvector-valuedfunctionisobtained．AfastalgorithmonsolvingthenumericalsolutionofsystemofE—Vandermondeequationsissuggested．Thenewalgorithmhaslesscomputationandhighprecis

4、ion，whichisverifiedbynumericalexperiments．Keywords：systemoflinearalgebraicequations；E—Vandermondematrix；differencequotient；methodofNewtoninterpolation对于一般的线性代数方程组，求其数值解的方数矩阵属于Vandermonde矩阵类的情形．本文针对法分为两类：直接解法和迭代解法．直接解法如：系数矩阵是E-Vandermonde矩阵⋯的线性方程组进Gauss消去法，Lu分

5、解法等；迭代解法如：Jacobi迭行研究，得出求E—Vandermonde方程组的数值解的代法，Gauss—Seidel迭代法“等．但对于一些特殊快速算法．的线性方程组，上述算法往往不是最佳选择．在实际设为m阶单位阵，称mn阶矩阵计算中，经常利用系数矩阵的特点，设计出针对不同EEE类型的特殊方程组的快速算法．例如，当系数矩阵是。lEa2ECtE,a三对角矩阵、Hessenberg矩阵、Hankel矩阵、ToeplitzVE=oE0；E口：E矩阵、Loewner矩阵、Vandermonde矩阵等时，人们都●_●：：

6、：设计出了较好的快速算法．Vandermonde方程组在数值计算中有着重要用。E口：E0n一E途．早在二十世纪七十年代，BjrOck等人给出了其为E—Vandermonde矩阵．当m=1时，式(1)即快速解法E63．HighamNJ又将此快速算法推广到系Vandermnnde矩阵．收稿13期：2011—03—17作者简介：刘长河(1966一)，男，副教授，博士，研究方向：应用数学62北京建筑工程学院学报定理1E-Vandermonde矩阵的行列式其中，A∈R(i=1，⋯，n)，det=1-I(a一aj)．满足{证

7、明：一、“)：一F(nu)／(i：一1，’⋯。一，’nⅡ)，．‘(5J)／记F(a)：F(i=1，⋯，)，由定理1易得：定理2满足插值条件(5)的次数不超过n一1的向量多项式函数一。()是唯一确定的，其系数VE=oE向量A∈R(i=1，⋯，n)是线性方程组(3)的解．定理2表明，通过求解线性方程组，可以求出插值多项式()．另外，如果将函数差商的定义由矩阵Kronecker积的性质，得推广到向量函数上去，利用向量函数差商的概念，det=也可以利用向量函数的Newton插值公式得到一()．定义：设F()∈R，Ⅱ1，n

8、2，⋯，Ⅱ是rt个互不相同的实数．称向量detF[o，o，]={F(o，)一F(n)}0．一口为F()关于点o，o的一阶差商．兀(n一)一般地，可定义F()关于点0，0：，⋯，0㈩的k1≤J<≤阶差商可以看出，同Vandermonde矩阵一样，非奇F[。l，02，⋯，Ⅱ+I]=异甘口≠口(i≠)．本文给出方程组-Ⅱ÷■f[Ⅱ2，⋯，0⋯卜F[。一，0^]f^十1—01=F