转本高数第三章第二节洛必达法则.ppt

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1、第二节洛必达法则洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为0，及.010一、和型未定式0定理(洛必达法则)设函数f(x)和g(x)在点xa的某去心邻域内有定义且可导,且满足下列条件：0(1)limf(x)limg(x)0；0xaxa(2)f(x)和g(x)在点x0的某去心邻域内可导，且g(x)0；f(x)(3)limA(或),xag(x)f(x)则limA(或).(证略)xag(x)2f(x)ff((xx))

2、lliimmlimxxag(x)xxagg((xx))说明：1.xa可改为x；2.limf(x)limg(x)时洛必达法则仍成立；xaxa03.若不是“”或“”未定式,不能使用洛必达法则；0f(x)f(x)4.当lim不存在时,且不是,不能断言lim不存在,g(x)g(x)只能说此时使用洛必达法则失败,需另想它法；5.洛必达法则可多次使用。3用“洛必达法则”求极限例题43x5x44x510例1lim2lim.()x1x2x3x12x240比较:因式分解，32(x1)(xxx4)1原

3、式lim.x1(x1)(x3)4练习:32x3x23x36x3limlimlim.322x1xxx1x13x2x1x16x224(1x)10例2lim(0)()x0x01(1x)lim.x01比较:令(1x)1t,则ln(1x)ln(1t),当x0时,t0.(1x)1ln(1x)原式limx0ln(1x)xtln(1x)limlim.t0ln(1t)x0x5cos(sinx)1练习:lim2x03xsin(sinx)cosx1

4、lim.x06x6等价无穷小替换cos(sinx)1或解lim2x03x2sinx/21lim.2x03x66arctanx20例3lim()x10sinx1arctanx221xlimlimx1x1x2x2xlim1.2x1x711y(1x)x，e(1x)x0例4lim()x0x0ln(1x)1lny，x(1x)x[(1x)ln(1x)x]xlimln(1x)x0x2(1x)y1x21yx(1x)x(1x)ln(1x)xlimlim2x

5、01xx0xln(1x)eelim.及时分离非零因子x02x281lnxx2例5limlimlim0.()xxx1xx2xlnx注:lim0,0.xxxxxeee例6lim5lim4lim(.)xxx5xx5!xe注:lim,0.xx92tanxsecx0例6limlim2()xtan3xx3sec3x220及时21cos3x16cos3xsin3x分离limlim23xcosx32cosxsinx非零x22因子cos3x

6、sin3x3sin3xlimlimlim3.xcosxxsinxxsinx222tanxsinxcos3x或解：limlimlimxtan3xxsin3xxcosx2223sin3xlim3.xsinx210例7求limxcosx.极限不存在xx1sinx解原式limlim(1sinx)x1x洛必达法则失效。1原式lim(1cosx)1.xx21x练习求lim.xx221xx1x解limlimlimxxx1x2xx1不能使用洛必达法则。

7、原式lim11.2x0x11二、其它类型的未定式000,,0,1,0解法：转化为或型不定式。01）0型11步骤:0,或00.0例8limxlnx(0)(0)x0lnx1/x1limlimx01limx0.xx0xx0122）型1100步骤:000011例9lim()x0ln(1x)xxln(1x)xln(1x)0limlim2()x0xln(1x)x0x0111x11limlim

8、.x02xx02(1x)213lnx3)00,